Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Regneregler for vektorer<br />
Hvis ⎛a1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
a = ⎜a2⎟<br />
og<br />
⎜ ⎟<br />
⎝a<br />
⎠<br />
⎛b1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
b = ⎜b2<br />
⎟ , så<br />
⎜ ⎟<br />
⎝b<br />
⎠<br />
3<br />
⎛ a1 + b1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
a + b = ⎜a2<br />
+ b2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝a<br />
+ b ⎠<br />
3 3<br />
3<br />
Kapiteloversigt<br />
⎛ a1 − b1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
a − b = ⎜a2<br />
− b2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝a<br />
− b ⎠<br />
55<br />
3 3<br />
Skalarproduktet<br />
<br />
a ⋅ b = a b cos v ,hvor v er vinklen mellem a og b .<br />
⎛a1⎞<br />
b1<br />
⎜ ⎟<br />
⎜a2⎟<br />
b2<br />
a b a b a b<br />
⎜ ⎟<br />
⎝a<br />
⎠ b<br />
⋅<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ = + +<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
3<br />
1 1 2 2 3 3<br />
Vektorproduktet<br />
<br />
a × b = a b sin v , hvor v er vinklen mellem a og b<br />
Lad ⎛a1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
a = ⎜a2⎟<br />
og<br />
⎜ ⎟<br />
⎝a3⎠<br />
⎛b1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
b = ⎜b2<br />
⎟ . Så er<br />
⎜ ⎟<br />
⎝b3<br />
⎠<br />
⎛a2b3<br />
− a3b2 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
a × b = ⎜ a3b1 − a1b3 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a1b2 − a2b1 ⎠<br />
<br />
a × b = 0 ⇔ a b<br />
Parallelogrammet udspændt af a og b har arealet <br />
a × b .<br />
Trekanten udspændt af a og b har arealet 1 <br />
a × b .<br />
2<br />
Planer og linier<br />
Linien med retningsvektoren<br />
<br />
r<br />
⎛r1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎜r2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝r<br />
⎠<br />
⎛ x⎞<br />
x r<br />
⎜ ⎟<br />
parameterfremstillingen ⎜ y⎟<br />
y t r<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
z r<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
0 ⎛ 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
0 ⎜ 2⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
3<br />
3<br />
⎛ sa1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
sa = ⎜sa2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝sa<br />
⎠<br />
<br />
a⊥b ⇔ a ⋅ b = 0<br />
<br />
a<br />
<br />
b<br />
<br />
a ⋅b<br />
<br />
= b<br />
2<br />
b<br />
gennem punktet ( x0, y0, z0<br />
) har<br />
3