Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
a = ⎜−1⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⎛ 0 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
b = ⎜ 8 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−9⎠<br />
og<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
c = ⎜ 3 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−3⎠<br />
c) Bestem volumi<strong>net</strong><br />
koordinatvektorerne<br />
af parallelipipediet<br />
<br />
i , j og k . Hvilken<br />
udspændt<br />
speciel<br />
af<br />
type<br />
parallelepipedum er der tale om?<br />
8.9 3x3-determinanter benyttes bl.a. til at løse tre ligninger med tre ubekendte,<br />
f.eks. ligningssystemet<br />
⎧ x + 4y<br />
+ z = 2⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨2x<br />
− y + z = 5⎬<br />
⎪<br />
⎩3x<br />
+ 2y + 4z<br />
= 1⎪<br />
⎭<br />
a) Gør rede for, at løsningsmængden til et sådant system enten består af<br />
punkterne på en plan, punkterne på en linie, et enkelt punkt eller den<br />
tomme mængde.<br />
Opfat i alle fire tilfælde de tre ligninger som ligningerne for tre<br />
planer, og skitsér beliggenhedsforholdet mellem de tre planer i de<br />
fire tilfælde.<br />
b) Vis, at det typiske ligningssystem kan opfattes som vektorligningen<br />
<br />
xa + yb + zc = d<br />
c) Vis, at løsningsmængden er et punkt, hvis og kun hvis<br />
<br />
det( a, b, c) ≠ 0.<br />
d) Bevis Cramer’s formel:<br />
<br />
Hvis det( a, b, c) ≠ 0, så er løsningen til ligningssystemet givet<br />
ved<br />
d b c<br />
x =<br />
a b c<br />
det( , , )<br />
<br />
<br />
det( , , )<br />
a d c<br />
y =<br />
a b c<br />
det( , , )<br />
<br />
<br />
det( , , )<br />
a b d<br />
z =<br />
a b c<br />
det( , , )<br />
<br />
<br />
det( , , )<br />
e) Løs ligningssystemet i starten af opgaven ved hjælp af Cramer’s<br />
metode.<br />
Det bør bemærkes, at denne metode langtfra er den mest effektive, når det<br />
drejer sig om løsning af sådanne ligningssystemer.<br />
51