Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

<strong>4.</strong>6 Projektioner på plan I dette afsnit vil vi studere hvorledes man projicerer vektorer og punkter ned på en plan. Bevis: Eksempel Definition 28 (FS) Projektionen af vektoren a på planen α med normalvektoren n er vektoren a a a α = − n α Sætning 29 (FS) Ifølge sætning 9 har vi umiddelbart, at a n a a a α = − n = a − n n ⋅ 2 → n Det andet lighedstegn vises ved hjælp af sætning 15, a): → a α → a Projektionen a α af vektoren a på planen α med normalvektoren n er givet ved a n n a n aα = a − n n n ⋅ = × × ( ) 2 2 n × a × n n ⋅n a − a ⋅ n n n a a n = = − n a an a n n n n ⋅ 2 ( ) ( ) ( ) = − = 2 2 43 2 2 α
Projektionen af vektoren ⎛3⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ a a a α = − n = idet planen har normalvektoren ⎛1⎞ ⎜ ⎟ n = ⎜1⎟ . ⎜ ⎟ ⎝1⎠ på planen α:x + y + z = 0 er givet ved ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 3 1 3 3 1 2 1 6 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 6 1 6 44 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 ⎛− 11 ⎜ 1 ⎜− 3 1 ⎜ ⎝ Bemærk, at det ikke kan betale sig at bruge formlen med det dobbelte krydsprodukt - der bliver for mange regnerier! Definition 30 (LS) Projektionen P α af punktet P på planen α er defineret som skæringspunktet mellem α og den linie, som står vinkelret på α og som går gennem P. Denne definition fortæller, hvorledes man i praksis finder projektionen af et punkt på en plan: Eksempel For at finde projektionen af P = ( 310 , , ) på planen α:x + y − z + 2 = 0 bemærker vi først, at en normalvektor for α, og dermed en retningsvektor for linien gennem P vinkelret på α er ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ n = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ Denne linie har da parameterfremstillingen ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 3 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝−1⎠ og sættes dette ind i planens ligning, så fås ( 3+ t) + ( 1+ t) −( − 1) + 2 = 0 ⇔ t = − 7 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 3 5 3 7 3
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?