Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Hvis de to linier er parallelle, så dur sætning 27 ikke. Men vi kan anvende sætning 26 og finde
afstanden mellem dem som afstanden mellem et vilkårligt punkt på den ene linie og den anden
linie.
Eksempel
Afstanden mellem de parallelle linier l og m findes:
⎛ x⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
l : ⎜ y⎟
= ⎜−
⎟ t
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ z⎠
⎝−
⎠
+
5 ⎛2⎞
⎛x⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
2 ⎜4⎟
m:
⎜y⎟
t
⎜ ⎟
⎜ ⎟
1 ⎝6⎠
⎝z⎠
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
2 ⎛1⎞
⎜ ⎟
1 ⎜2⎟
⎜ ⎟
4 ⎝3⎠
Vi finder et tilfældigt punkt P på m ved at sætte t = 0: P = ( 2, 14 , ) .
Tilsvarende findes P0 på l som P0 = ( 5, −2, −1).
Vi får så:
og
r =
→
P P
0
⎛2⎞
⎜ ⎟
⎜4⎟
⎜ ⎟
⎝6⎠
⎛ 2 −5
⎞ 3
⎜ ⎟
= ⎜1−
−2
⎟ 3
⎜ ⎟
⎝4
− −1
⎠ 5
=
⎛−
⎞
⎜ ⎟
( ) ⎜ ⎟
⎜ ⎟
( ) ⎝ ⎠
→
2 2 2
r × P P = 2 + ( − 28) + 18 = 1112
0
1112
dist( l, m) = dist( l, P)
= =
56
Opgaver
41
2 2 2
r = 2 + 4 + 6 = 56
⎛ 2 ⎞
→ ⎜ ⎟
r × P0 P = ⎜−28⎟
⎜ ⎟
⎝ 18 ⎠
I de følgende opgaver betegner α. β, γ og δ planerne defineret i opgave 3.3, k, l, m og l
139
7
linierne defineret i opgave 3.4 og punkterne A, B, C og D de fire punkter nedenfor:
A = ( 13 , , −2
) B = ( −1, −2, −3
) C = ( 53 , , −2
) og D = ( −2,
4, 1
)