Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

En vektor i rummet skal beskrives ved tre koordinater. Vi har nemlig tre enhedsvektorer, i , j og k , som peger i samme retning som henholdsvis x-, y- og z-aksen. Koordinatfremstillingen af vektoren a er (2) ⎛a1⎞ ⎜ ⎟ a = a1i + a2 j + a3k = ⎜a2⎟ ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ Regning med koordinater foregår ganske som i det plane tilfælde: 3 Husk, at det, ligesom ved plangeometrien, er ekstremt vigtigt at skelne mellem et punkt og dets stedvektor. Bevis: Sætning 3 (FS) Sætning 4 a) Vektoren AB → B = ( b1, b2, b3 ) Stedvektoren OA → ⎛a → 1⎞ ⎜ ⎟ OA = ⎜a2⎟ . ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ 3 3 mellem punkterne A = ( a1, a2, a3 ) og b − a har koordinaterne AB 3 → = F G H G til punktet A = ( a1, a2, a3 ) Hvis ⎛a1⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜a2⎟ og ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ ⎛b1 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜b2 ⎟ , så gælder ⎜ ⎟ ⎝b ⎠ ⎛ a1 + b1 ⎞ ⎜ ⎟ a + b = ⎜a2 + b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a + b ⎠ ⎛ sa1⎞ ⎜ ⎟ c) sa = ⎜sa2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝sa ⎠ 3 3 3 3 b) d) 1 1 b − a 2 2 b − a 3 3 I J K J . har koordinaterne ⎛ a1 − b1 ⎞ ⎜ ⎟ a − b = ⎜a2 − b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a − b ⎠ 3 3 2 2 a = a + a + a 1 2 2 3
z Kun punkt d) kræver noget særskilt bevis: Vi opsplitter a i komponenterne a12 og a3 , hvor a12 befinder sig i xy-planen, og a3 er parallel med z-aksen: Vi har a = a12 + a3 , og idet a12 kan opfattes som den plane vektor a ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ , og ⎝a ⎠ a3 = a3k , gælder at 4 2 2 2 2 a = a + a og 2 2 a = a . 12 1 Nu er vektorerne a 12 og a 3 de to kateter i en retvinklet trekant med hypotenusen a . Pythagoras giver derfor 2 a = a 2 + a 2 = a 2 + a 2 + a 2 og ved at tage kvadratroden bevises sætningen 12 Skalarproduktet kan udregnes ud fra de to indgående vektorers koordinater: (6) x → a → a F G H G 12 a a a 1 2 3 → a Definition 5 (FS) 3 I J K Sætning 7 a) c) e) J ⋅ F G H G b b b 1 2 3 I J K J y = a b + a b + a b 3 Skalarproduktet mellem vektorerne a og b er givet ved a ⋅ b = a b cos v hvor v er vinklen mellem a og b . 1 1 1 2 2 3 3 Lad a , b og c være vektorer, t en skalar. Da gælder: a ⋅ b = b ⋅ a b) a ⋅ ( b + c) = a ⋅ b + a ⋅c 2 a ⋅ a = a d) ( ta) ⋅ b = a ⋅ ( tb) = t( a ⋅ b) 2 2 2 a ± b = a + b ± 2 a ⋅b 2 3 2 3 3
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56:
Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57:
Planen med normalvektoren ⎛a⎞
show all

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?