Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Hvis punktet P ligger på linien l, så er afstanden 0. Det passer meget godt med, at i<br />
dette tilfælde er retningsvektoren →<br />
r parallel med P0 P<br />
38<br />
. Krydsproduktet mellem disse<br />
vektorer er da nulvektoren, og højresiden af afstandsformlen forsvinder.<br />
Hvis P ikke ligger på linien l, så udspænder P og l en plan. Betragter vi denne plan, så<br />
ser situationen således ud:<br />
P<br />
0<br />
v<br />
Q er projektionen af P på linien l, og vores afstand er dist( P, l) = PQ<br />
Retningsvektoren r placeres med halen i punktet P0 , og hovedet kaldes for R.<br />
Vinklen ∠PP0 R kaldes v.<br />
Vi beregner arealet T af trekanten PP0 R på to forskellige måder. For det første ses,<br />
at PQ er en højde for denne trekant, så den sædvanlige formel giver<br />
1<br />
1<br />
1 <br />
T = ⋅ højde ⋅ grundlinie = P0 R ⋅ PQ = r ⋅ dist( P, l)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
For det andet vides fra sætning 16, at<br />
T = r × P P<br />
→ 1 <br />
0<br />
2<br />
hvilket tilsammen giver<br />
1 1 <br />
r ⋅ P l = r × P0 P<br />
2<br />
2<br />
→<br />
dist( , ) ,<br />
eller ved omrokering af leddene<br />
r × P P<br />
dist( P, l)<br />
=<br />
r<br />
→ <br />
0<br />
<br />
Reg<strong>net</strong> opgave<br />
Opgave: Beregn afstanden mellem punktet P = ( , , − )<br />
→<br />
r<br />
parameterfremstillingen<br />
R<br />
Q<br />
P<br />
13 2 og linien l med