Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

⎛ x⎞
⎜ ⎟
l:
⎜ y⎟
t
⎜ ⎟
⎝ z⎠
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
1 ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
2 ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟
3 ⎝−1⎠
37
og α:x + y + 5z = 0 .
Vi starter med at bemærke, at l og α er parallelle - vi har nemlig, at
⎛ ⎞
⎜ ⎟
rl ⋅ n = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝−
⎠
⋅
1 ⎛1⎞
⎜ ⎟
α 2 ⎜2⎟
= 1+ 4 − 5 = 0
⎜ ⎟
1 ⎝5⎠
så liniens retningsvektor og planens normalvektor er orthogonale. Dette er heldigt, for
hvis l og α ikke var parallelle, så ville de skære hinanden, og deres indbyrdes afstand
ville være 0.
Pga. denne parallelitet kan vi nøjes med at finde et enkelt punkt P på linien l og
beregne dist( P, α) = dist( l,
α)
. Vi vælger punktet P = ( 1, 2, 3 ) , som opnås ved at
sætte parameteren t lig 0, og får
1⋅ 1+ 1⋅ 2 + 5⋅ 3+ 0 18 6
dist( l, α) = dist( P,
α)
= = = = 2 3
2 2 2
1 + 1 + 5 27 3
Eksempel
Planerne α og β, hvis ligninger er
α:x + y + z = 0 og β:x + y + z + 3 = 0
er parallelle, idet de har den samme normalvektor. Dette er heldigt; thi var de ikke
parallelle, så skar de hinanden, og deres indbyrdes afstand var 0.
Som ovenfor vælger vi et tilfældigt punkt P beliggende i α, og for nemheds skyld
vælger vi P = ( 0, 0, 0 ) . Vi får da
0⋅ 1+ 0⋅ 1+ 0⋅ 1+ 3 3
dist( α, β) = dist( P,
β)
= = =
2 2 2
1 + 1 + 1 3
Vi fortsætter vor Odyssé gennem afstandsformlernes rige:
Bevis:
Sætning 26 (FS)
Afstanden mellem punktet P og linien l gennem punktet P 0 og
retningsvektoren r er givet ved
r × P P
dist( P, l)
=
r
→
0
3 .