Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Bemærk, at det positive halvrum er defineret som det halvrum, hvori normalvektoren ⎛a⎞ ⎜ ⎟ n = ⎜b⎟ ⎜ ⎟ ⎝c⎠ peger ind - se tegningen: Bevis: Lad P0 x0 y0 z0 = ( , , ) være et punkt på α. Vi har da, at dist( P, l ) <strong>net</strong>op er lig → længden af projektionen af P0 P på normalvektoren n . Endvidere ligger P i det positive halvrum, hvis denne projektion er ensrettet med n , og i det negative halvrum, hvis projektionen er modsat rettet n . Se figuren nedenfor, hvor projektionsvektoren → P P 0 n er teg<strong>net</strong> som den stiplede pil. Vi finder projektionen: ⎛ x1 − x0⎞ → ⎜ ⎟ P0 P = ⎜ y1 − y0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z − z ⎠ 1 0 ⎛ x1 − x0⎞ a → ⎜ ⎟ P0 P⋅ n = ⎜ y1 − y0⎟ b a x1 x0 b y1 y0 c z1 z0 ⎜ ⎟ ⎝ z − z ⎠ c ⋅ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ( − ) + ( − ) + ( − ) = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 0 ax1 + by1 + cz1 − ( ax0 + by0 + cz 0) = ax1 + by1 + cz1 + d idet ax0 + by0 + cz0 + d = 0 Projektionen er nu 35 → n det positive halvrum det negative halvrum P P o → n
Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n = n 2 n og det ses, at projektionen er ensrettet med n , hvis og kun hvis størrelsen → P P⋅ n = ax + by + cz + d 0 1 1 1 er positiv, og at projektionen er modsat rettet n , hvis den samme størrelse er negativ. Endelig fås for længden af projektionen P P⋅n → 0 dist( P, α ) = P0 P n = n = 2 n → → 36 P P⋅n 0 n ax1 + by1 + cz1 + d = 2 2 2 a + b + c Lad planen α være givet ved ligningen 2x − y + z − 3 = 0 , og punkterne P,Q og R være P = ( 1, 2, 3 ) , Q = ( 0, 01 , ) og R = ( 2, 0, 0 ) . Vi har da, at så P ligger i planen α, 2⋅1 −1⋅ 2 + 1⋅3 − 3 0 dist( P, α ) = = = 0, 2 2 2 2 + ( − 1) + 1 6 ⋅ − ⋅ + ⋅ − dist( Q, α ) = = + ( − ) + − 2 0 1 0 1 1 3 2 = 2 2 2 2 1 1 6 og det ses, at Q ligger i planens negative halvrum, og 2⋅ 2 −1⋅ 0+ 1⋅0 − 3 1 dist( R, α ) = = = 2 2 2 2 + ( − 1) + 1 6 så R ligger i planens positive halvrum. Specielt kan vi konkludere, at Q og R ligger på hver sin side af planen α. Sætning 25 kan også bruges til at finde afstanden mellem en linie og en plan, og afstanden mellem to planer - nemlig når planen og linien, eller de to planer, er parallelle. Eksempel Lad linien l og planen α være givet ved 2 6 1 6 ,
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?