Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>4.</strong>5 Afstandsbestemmelse i rummet<br />
Vi vil i dette kapitel give formler for, hvorledes man kan bestemme afstanden mellem de<br />
forskellige objekter i rummet, nemlig punkter, linier og planer.<br />
Vi starter med en af de nemme formler:<br />
Sætning 24 (FS)<br />
Bevis:<br />
⎛x<br />
x<br />
→<br />
2 − 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Denne sætning er en direkte konsekvens af sætning 3, idet PQ = ⎜y2<br />
− y1⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z − z ⎠<br />
og dermed<br />
Afstanden mellem punkterne P = ( x1, y1, z1<br />
)<br />
er givet ved<br />
34<br />
2 1<br />
→<br />
PQ = PQ = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z )<br />
2 1 2<br />
2 1 2<br />
Eksempel<br />
Afstanden mellem punkterne A = ( 7, 31 , ) og B = ( −1, −2,<br />
3 )<br />
findes ganske let:<br />
og Q = ( x , y , z )<br />
2 2 2<br />
PQ = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z )<br />
2 1 2<br />
2 1 2<br />
2 1 2<br />
2 1 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
AB = ( −1− 7) + ( −2 − 3) + ( 3− 1) = 8 + 5 + 2 = 93<br />
Følgende sætning og bevis skal sammenlignes med plangeometriens sætning 37.<br />
Sætning 25 (FS)<br />
Lad P = ( x1, y1, z1<br />
)<br />
være et punkt og α:ax + by + cz + d = 0<br />
være en plan i rummet. Da er afstanden fra P til α givet ved<br />
ax1 + by1 + cz1 + d<br />
dist( P,<br />
α ) =<br />
2 2 2<br />
a + b + c<br />
Endvidere gælder, at<br />
a) ax1 + by1 + cz1 + d > 0 ⇔ P ligger i det positive halvrum<br />
b) ax1 + by1 + cz1 + d < 0 ⇔ P ligger i det negative halvrum<br />
c) ax1 + by1 + cz1 + d > 0 ⇔ P ligger på α.