Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Objekt Dimension
punkt 0
linie 1
plan 2
rummet 3
Vi kan se, at en plan er 2-dimensional, idet den kan beskrives ved en parameterfremstilling
med to parametre. En anden måde at finde denne dimension på er at sige, at et punkt i en plan
har to frihedsgrader: Som punkt i rummet har det tre frihedsgrader, men ligningen for planen
indskrænker dets bevægelsesfrihed med en frihedsgrad. Der er så to frihedsgrader tilbage.
Tilsvarende er en linie 1-dimensional, idet en linie kan beskrives ved en parameterfremstilling
med én parameter.
Her ser vi også grunden til, at det er umuligt at beskrive en linie i rummet med en ligning. Var
dette nemlig muligt, så ville linien jo blive 2-dimensional.
Men vi kan beskrive en linie med 2 ligninger - disse to bindinger på koordinaterne efterlader
lige præcis en frihedsgrad. Men ved at beskrive en linie med to ligninger, så beskriver vi
faktisk en linie som skæringen mellem to planer.
Endelig ser vi, at et punkt er 0-dimensionalt. F.eks. kan vi beskrive punktet (1,2,3) på to
måder: Enten som den lidt kedelige parameterfremstilling
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎜ ⎟
⎝ z⎠
=
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜2⎟
⎜ ⎟
⎝3⎠
som indeholder 0 parametre, eller ved de tre ligninger
x = 1 , y = 2 , z = 3.
Idet hver ligning æder en frihedsgrad, ser vi, at punktet er 0-dimensionalt.
Ovenstående skal dog tages med et gran salt; man kan dog godt komme ud for, at en
punktmængde i rummet, som beskrives med én ligning, er 0-dimensional og ikke 1dimensional.
F.eks. fremstiller ligningen
2 2 2 x + y + z = 0
( 0, 0, 0 ) .
den 0-dimensionale punktmængde { }
33