Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Hvis n ⋅r ≠ 0 , dvs. hvis linien ikke står vinkelret på planens normalvektor (eller, hvad der er det samme, linien og planen ikke er parallelle), så har denne ligning <strong>net</strong>op en løsning for t, og dette giver <strong>net</strong>op et skæringspunkt. Hvis n ⋅ r = 0, så er linien og planen parallelle, og antallet af løsninger afhænger af højresiden. Hvis højresiden er 0, så er alle mulige værdier for t løsninger, og linien l er indeholdt i planen α. Hvis højresiden ikke er 0, så findes der ingen løsninger, og linien og planen har ingen fælles punkter. (Bemærk, at denne højreside er lig -(punktet ( x , y , z ) 's koordinater indsat i planens ligning)). 29 0 0 0 Eksempel Linien α givet ved ligningen x + y + z + 2 = 0 og linien l givet ved parameterfremstillingen ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ + ⎜−1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ 2 ⎠ skærer hinanden i punktet (-5, 4, -1): Indsættelse af parameterfremstillingen i planens ligning giver nemlig ligningen som reducerer til ( 1+ 3t) + ( 2 − t) + ( 3+ 2t ) + 2 = 0 4t = − 8. Indsættes løsningen t = −2 i l's parameterfremstilling, så fås skæringspunktet ( −5, 4, −1 ) . Opgaver 3.1 a) Find en parameterfremstilling for planen med ligningen 2x − 3y − z + 9 = 0 b) Find en ligning for planen med parameterfremstillingen ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ + 2 ⎛4⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎜1⎟ + ⎜−2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎝6⎠ ⎝ 0 ⎠ c) Find en ligning for planen gennem punkterne ABC, hvor A = ( 1, 3, 4 ) B = ( −2, 0, 6 ) og C = ( 0, 4, − 2 ) d) Bestem vinklen mellem planerne i a) og b)
e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6 ) i nogle af de tre planer fra a), b) eller c). 3.2 a) Bestem en parameterfremstilling for linien gennem punkterne (8,3,1) og (-7,4,9) b) Kan man opskrive en ligning for denne linie? 3.3 Planerne α, β, γ og δ er givet ved: α : 3x + 7y − 4z = 9 β: 2x − 4z + 6 = 0 ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ γ : ⎜ y⎟ s t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 2 0 ⎛−2⎞ ⎜ ⎟ 6 4 ⎜ 6 ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 ⎝ −1⎠ ⎛ x⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ δ : ⎜ y⎟ = ⎜− ⎟ s t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 6 4 ⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 ⎜ 4 ⎟ ⎜ ⎟ 1 7 ⎝−1⎠ a) Bestem fællesmængden mellem α og β. b) Bestem fællesmængden mellem β og γ. c) Vis, at α og δ skærer hinanden, find deres fællesmængde og find vinklen mellem de to planer. d) Bestem fællesmængden mellem γ og δ. e) Bestem vinklen mellem γ og δ. f) Bestem ligningen for den plan, som står vinkelret på både γ og δ, og som går gennem punktet (0,0,0). 3.4 Linierne k, l, m og n er bestemt ved parameterfremstillingerne: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ k : ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜10⎟ + ⎜−1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ m: ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛6⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ + ⎜−2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ Bestem fællesmængderne og beliggenhedsforholdet mellem a) k og l b) k og m c) k og n d) m og n. e) Bestem endvidere vinklen mellem linierne k og n. 30 ⎛ x⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ l : ⎜ y⎟ = ⎜−3⎟ + t⎜−1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ n : ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 4 ⎛−4⎞ ⎜ ⎟ 13 ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎝−2⎠
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?