Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Hvis n ⋅r ≠ 0 , dvs. hvis linien ikke står vinkelret på planens normalvektor (eller, hvad<br />
der er det samme, linien og planen ikke er parallelle), så har denne ligning <strong>net</strong>op en<br />
løsning for t, og dette giver <strong>net</strong>op et skæringspunkt.<br />
<br />
Hvis n ⋅ r = 0, så er linien og planen parallelle, og antallet af løsninger afhænger af<br />
højresiden.<br />
Hvis højresiden er 0, så er alle mulige værdier for t løsninger, og linien l er indeholdt i<br />
planen α.<br />
Hvis højresiden ikke er 0, så findes der ingen løsninger, og linien og planen har ingen<br />
fælles punkter.<br />
(Bemærk, at denne højreside er lig -(punktet ( x , y , z ) 's koordinater indsat i<br />
planens ligning)).<br />
29<br />
0 0 0<br />
Eksempel<br />
Linien α givet ved ligningen x + y + z + 2 = 0 og linien l givet ved<br />
parameterfremstillingen<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛1⎞<br />
⎛ 3 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜2⎟<br />
+ ⎜−1⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝3⎠<br />
⎝ 2 ⎠<br />
skærer hinanden i punktet (-5, 4, -1):<br />
Indsættelse af parameterfremstillingen i planens ligning giver nemlig ligningen<br />
som reducerer til<br />
( 1+ 3t) + ( 2 − t) + ( 3+ 2t ) + 2 = 0<br />
4t = − 8.<br />
Indsættes løsningen t = −2 i l's parameterfremstilling, så fås skæringspunktet<br />
( −5, 4, −1<br />
) .<br />
Opgaver<br />
3.1 a) Find en parameterfremstilling for planen med ligningen<br />
2x − 3y − z + 9 = 0<br />
b) Find en ligning for planen med parameterfremstillingen<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
s t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
⎠<br />
+<br />
2 ⎛4⎞<br />
⎛ 3 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
4 ⎜1⎟<br />
+ ⎜−2⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
1 ⎝6⎠<br />
⎝ 0 ⎠<br />
c) Find en ligning for planen gennem punkterne ABC, hvor<br />
A = ( 1, 3, 4 ) B = ( −2,<br />
0, 6 ) og C = ( 0, 4, − 2 )<br />
d) Bestem vinklen mellem planerne i a) og b)