Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>4.</strong>1 Vektorer i rummet<br />
Vi vil nu generalisere plangeometriens vektorer til rumgeometrien (eller stereometrien). De<br />
fleste af definitionerne og sætningerne i dette afsnit ligner plangeometriens resultater til<br />
forveksling, og der udelades derfor mange detaljer.<br />
For det første har vi brug for et koordinatsystem i rummet. Dette er ganske simpelt at lave:<br />
Man tager et sædvanligt koordinatsystem i planen og sætter en tredie akse - z-aksen - på.<br />
Denne skal stå vinkelret på de to andre akser, og dette gøres i praksis ved, at z-aksen står<br />
vinkelret på den plan, x- og y-akserne danner.<br />
Vi skal vælge z-aksens retning. Man plejer at vælge denne retning, således at man får et<br />
højreskruet system:<br />
Holdes højre hånd således, at omløbsretningen, dvs. retningen fra x- til y-aksen, følger<br />
med de fire fingre, så skal z-aksen pege i tommelfingerens<br />
retning.<br />
z<br />
x<br />
En rumvektor er en pil i rummet. Alle de sædvanlige operation, addition, subtraktion og<br />
skalarmultiplikation, er defineret på samme måde som i plangeometrien. Nedenstående regler<br />
bevises ganske som i det plane tilfælde:<br />
Sætning 1<br />
Lad <br />
a , b og c være vektorer i rummet, og lad s og t være skalarer.<br />
Da gælder, at<br />
<br />
<br />
a) a + b = b + a<br />
b) a + ( b + c) = ( a + b) + c<br />
<br />
<br />
c) a + 0 = 0 + a = a d) t( a + b) = ta + tb<br />
<br />
e) ( s + t) a = sa + ta f) ( st ) a = s( ta) = t( sa)<br />
<br />
<br />
g) 0a = 0<br />
h) ( − 1) a = −a<br />
<br />
<br />
i) a + b ≤ a + b<br />
j) a − b ≤ a +<br />
b<br />
2<br />
y