Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Vi har derfor ligningssystemet
⎛3⎞
6 2 5 4 1 14
⎜ ⎟
⎜2⎟
4 1 6 5 3 21 0
⎜ ⎟
⎝1⎠
5 3 4 2 6 0
×
⎛−
⎞
⎜ ⎟
⎜−
⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
⎛ ⋅ − − ⋅ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⋅ − − ⋅ ⎟ = ⎜−
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⋅ − − − ⋅ ⎠ ⎝ ⎠
≠
( )
( )
( ) ( )
⎧ 5+ 3t = 8− 6s
⎫
⎪
⎪
⎨ 6 + 2t = 8− 4s
⎬
⎪
⎩−
4 + t = − 10+ 5s⎪
⎭
27
⇔
⎧ 6s + 3t = 3 ⎫
⎪ ⎪
⎨ 4s + 2t = 2 ⎬
⎪
⎩−
5s + t = −6⎪
⎭
Vi løser de to første ligninger og bruger den tredie som kontrol:
⎧6s
+ 3t = 3⎫
⎨ ⎬
⎩4s
+ 2t = 2⎭
6 3
D = = 6⋅ 2 −4 ⋅ 3= 12 − 12 = 0
4 2
UPS - determinanten blev jo nul!
Tjah - det kunne man jo have sagt sig selv - denne determinant er jo krydsproduktets
z-koordinat, og denne er jo nul. Så i stedet for at vælge de to første ligninger vælger vi
f.eks. første og tredie ligning - deres determinant er krydsproduktets y-koordinat
(pånær fortegn), og denne y-koordinat er jo ikke nul:
⎧ 6s + 3t = 3 ⎫
⎨ ⎬
⎩−
5s + t = −6⎭
6 3
3 3
D = = 21 Ds = = 21
−5
1
−6
1
6 3
Dt = = −21
−5 − 6
s Ds
21
Dt
= = = 1 t = =
D 21 D
−21
= −1
21
Indsættes dette i den sidste ligning fås
4s + 2t = 2 ⇒ 4⋅ 1+ 2⋅ ( − 1) = 2 ⇔ 2 = 2
og dette er jo et sandt udsagn. Linierne skærer altså hinanden.
For at finde skæringspunktet indsættes enten s = 1 eller t = −1 i en af
parameterfremstillingerne. Vi vælger at indsætte s = 1:
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎜ ⎟
⎝ z⎠
=
⎛ ⎞ ⎛−
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ + ⋅⎜
− ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
⎠ ⎝ ⎠
=
8 6 ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
8 1 4 ⎜ 4 ⎟
⎜ ⎟
10 5 ⎝−5⎠