Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Vi har derfor ligningssystemet<br />
⎛3⎞<br />
6 2 5 4 1 14<br />
⎜ ⎟<br />
⎜2⎟<br />
4 1 6 5 3 21 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝1⎠<br />
5 3 4 2 6 0<br />
×<br />
⎛−<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜−<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛ ⋅ − − ⋅ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⋅ − − ⋅ ⎟ = ⎜−<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ ⋅ − − − ⋅ ⎠ ⎝ ⎠<br />
≠<br />
( )<br />
<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
⎧ 5+ 3t = 8− 6s<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨ 6 + 2t = 8− 4s<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎩−<br />
4 + t = − 10+ 5s⎪<br />
⎭<br />
27<br />
⇔<br />
⎧ 6s + 3t = 3 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
⎨ 4s + 2t = 2 ⎬<br />
⎪<br />
⎩−<br />
5s + t = −6⎪<br />
⎭<br />
Vi løser de to første ligninger og bruger den tredie som kontrol:<br />
⎧6s<br />
+ 3t = 3⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩4s<br />
+ 2t = 2⎭<br />
6 3<br />
D = = 6⋅ 2 −4 ⋅ 3= 12 − 12 = 0<br />
4 2<br />
UPS - determinanten blev jo nul!<br />
Tjah - det kunne man jo have sagt sig selv - denne determinant er jo krydsproduktets<br />
z-koordinat, og denne er jo nul. Så i stedet for at vælge de to første ligninger vælger vi<br />
f.eks. første og tredie ligning - deres determinant er krydsproduktets y-koordinat<br />
(pånær fortegn), og denne y-koordinat er jo ikke nul:<br />
⎧ 6s + 3t = 3 ⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩−<br />
5s + t = −6⎭<br />
6 3<br />
3 3<br />
D = = 21 Ds = = 21<br />
−5<br />
1<br />
−6<br />
1<br />
6 3<br />
Dt = = −21<br />
−5 − 6<br />
s Ds<br />
21<br />
Dt<br />
= = = 1 t = =<br />
D 21 D<br />
−21<br />
= −1<br />
21<br />
Indsættes dette i den sidste ligning fås<br />
4s + 2t = 2 ⇒ 4⋅ 1+ 2⋅ ( − 1) = 2 ⇔ 2 = 2<br />
og dette er jo et sandt udsagn. Linierne skærer altså hinanden.<br />
For at finde skæringspunktet indsættes enten s = 1 eller t = −1 i en af<br />
parameterfremstillingerne. Vi vælger at indsætte s = 1:<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞ ⎛−<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ + ⋅⎜<br />
− ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
⎠ ⎝ ⎠<br />
=<br />
8 6 ⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
8 1 4 ⎜ 4 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
10 5 ⎝−5⎠