Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
⎛4⎞<br />
0 5 4 2 6 8<br />
⎜ ⎟<br />
⎜5⎟<br />
2 6 0 4 4 16 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝6⎠<br />
4 4 2 0 5 8<br />
×<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛ ⋅ − ⋅ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ <br />
⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ = ⎜−<br />
⎟ ≠<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ ⋅ − ⋅ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Linierne er altså ikke parallelle. Vi bruger metoden ovenfra, efter at vi har omdøbt den<br />
ene parameter til s:<br />
⎧ 1+ 4t = −1<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨ 2 + 5t = 2 + 2s<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎩3+<br />
6t = − 3+ 4s⎪<br />
⎭<br />
Idet alle tre koordinater i krydsproduktet er forskellige fra 0, så vælger vi at løse de to<br />
første ligninger og anvende den tredie som kontrol:<br />
⎧ 1+ 4 = −1<br />
⎫<br />
⎨<br />
⎬<br />
⎩2<br />
+ 5 = 2 + 2 ⎭ ⇔<br />
t<br />
t s<br />
26<br />
⎧ 4t = −2<br />
⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩−<br />
2s + 5t = 0⎭<br />
0 4<br />
D = = 8 Ds =<br />
−2<br />
5<br />
−2<br />
4<br />
= −10<br />
0 5<br />
0 −2<br />
Dt = = −4<br />
−2<br />
0<br />
s Ds<br />
= =<br />
D<br />
−10<br />
4<br />
= −<br />
8 5<br />
Dette indsættes i den tredie ligning:<br />
Dt<br />
t = =<br />
D<br />
− 4 1<br />
= −<br />
8 2<br />
2 + 6t = − 5+ 4s ⇒ 2 + 6⋅ ( − 1)<br />
= − 5+ 4⋅ ( − 4)<br />
⇔ − 1=<br />
−<br />
Dette er tydeligvis ukorrekt, så de to linier har intet skæringspunkt, og er derfor<br />
vindskæve.<br />
Eksempel<br />
Linierne med parameterfremstillingerne<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
⎠<br />
+<br />
5 ⎛3⎞<br />
⎜ ⎟<br />
6 ⎜2⎟<br />
⎜ ⎟<br />
4 ⎝1⎠<br />
2<br />
og<br />
5<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
s<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
⎠<br />
+<br />
8 ⎛−6⎞<br />
⎜ ⎟<br />
8 ⎜−4⎟<br />
⎜ ⎟<br />
10 ⎝ 5 ⎠<br />
skærer hinanden i punktet ( 2; 4; − 5)<br />
:<br />
For det første er linierne ikke parallelle, idet krydsproduktet af retningsvektorerne ikke<br />
er nulvektoren:<br />
41 5