Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Er retningsvektorerne parallelle så er linierne enten sammenfaldende eller parallelle og<br />
forskellige. Man undersøger da, om linierne har et fælles punkt - har de det, så der de<br />
nødvendigvis sammenfaldende.<br />
Er retningsvektorerne ikke parallelle, så sætter man de to liniers parameterfremstillinger lig<br />
hinanden og opnår 3 ligninger med de to ubekendte s og t. To af ligningerne opfattes som et<br />
sædvanligt ligningssystem og løses, f.eks. ved hjælp af determinantmetoden, og løsningen (en<br />
værdi for s og en værdi for t) indsættes i den tredie ligning. Passer den, så skærer linierne<br />
hinanden, og passer den ikke, så er linierne vindskæve.<br />
Nu kan man være uheldig, således at determinanten for de to udvalgte ligninger giver 0. Men<br />
denne determinant er en af koordinaterne i de to retningsvektorers krydsprodukt, og er<br />
retningsvektorerne ikke parallelle, så er dette krydsprodukt ikke nulvektoren. Én af<br />
koordinaterne må da være forskellig fra nul, og man vælger derfor sine to ligninger ud fra<br />
dette.<br />
Eksempel<br />
Linierne givet ved<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
s<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
1 ⎛−1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 ⎜ 2 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
3 ⎝ 4 ⎠<br />
25<br />
og<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛3⎞<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜7⎟<br />
+ ⎜−4⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝1⎠<br />
⎝−8⎠<br />
er parallelle, idet krydsproduktet af retningsvektorerne er nulvektoren (Prøv!)<br />
Punktet (1,2,3) ligger på den ene linie, og for at se, om det også ligger på den anden,<br />
så finder man en eventuel værdi for parameteren t:<br />
⎧1=<br />
3+ 2t⎫<br />
⎪ ⎪<br />
⎨2=<br />
7− 4t⎬<br />
⎪<br />
⎩3=<br />
1− 8t<br />
⎪<br />
⎭<br />
⇔<br />
⎧t<br />
= −1⎫<br />
⎪ 5 ⎪<br />
⎨t<br />
= 4 ⎬<br />
⎪ 1<br />
⎩t<br />
= − ⎪<br />
4⎭<br />
Det er lidt svært for t at opfylde alle tre betingelser samtidigt, så punktet (1,2,3) ligger<br />
ikke på den anden linie, og de to linier er derfor ikke sammenfaldende.<br />
Eksempel<br />
Linierne givet ved<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
1 ⎛4⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 ⎜5⎟<br />
⎜ ⎟<br />
3 ⎝6⎠<br />
og<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛−<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
⎠<br />
+<br />
1 ⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 ⎜2⎟<br />
⎜ ⎟<br />
3 ⎝4⎠<br />
er vindskæve:<br />
Vi starter med at udregne krydsproduktet af retningsvektorerne: