Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Er retningsvektorerne parallelle så er linierne enten sammenfaldende eller parallelle og forskellige. Man undersøger da, om linierne har et fælles punkt - har de det, så der de nødvendigvis sammenfaldende. Er retningsvektorerne ikke parallelle, så sætter man de to liniers parameterfremstillinger lig hinanden og opnår 3 ligninger med de to ubekendte s og t. To af ligningerne opfattes som et sædvanligt ligningssystem og løses, f.eks. ved hjælp af determinantmetoden, og løsningen (en værdi for s og en værdi for t) indsættes i den tredie ligning. Passer den, så skærer linierne hinanden, og passer den ikke, så er linierne vindskæve. Nu kan man være uheldig, således at determinanten for de to udvalgte ligninger giver 0. Men denne determinant er en af koordinaterne i de to retningsvektorers krydsprodukt, og er retningsvektorerne ikke parallelle, så er dette krydsprodukt ikke nulvektoren. Én af koordinaterne må da være forskellig fra nul, og man vælger derfor sine to ligninger ud fra dette. Eksempel Linierne givet ved ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 1 ⎛−1⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ 4 ⎠ 25 og ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛3⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜7⎟ + ⎜−4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝−8⎠ er parallelle, idet krydsproduktet af retningsvektorerne er nulvektoren (Prøv!) Punktet (1,2,3) ligger på den ene linie, og for at se, om det også ligger på den anden, så finder man en eventuel værdi for parameteren t: ⎧1= 3+ 2t⎫ ⎪ ⎪ ⎨2= 7− 4t⎬ ⎪ ⎩3= 1− 8t ⎪ ⎭ ⇔ ⎧t = −1⎫ ⎪ 5 ⎪ ⎨t = 4 ⎬ ⎪ 1 ⎩t = − ⎪ 4⎭ Det er lidt svært for t at opfylde alle tre betingelser samtidigt, så punktet (1,2,3) ligger ikke på den anden linie, og de to linier er derfor ikke sammenfaldende. Eksempel Linierne givet ved ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 1 ⎛4⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜5⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝6⎠ og ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ + 1 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜2⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝4⎠ er vindskæve: Vi starter med at udregne krydsproduktet af retningsvektorerne:
⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟ 2 6 0 4 4 16 0 ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 4 4 2 0 5 8 × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⋅ − ⋅ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ = ⎜− ⎟ ≠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⋅ − ⋅ ⎠ ⎝ ⎠ Linierne er altså ikke parallelle. Vi bruger metoden ovenfra, efter at vi har omdøbt den ene parameter til s: ⎧ 1+ 4t = −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ 2 + 5t = 2 + 2s ⎬ ⎪ ⎩3+ 6t = − 3+ 4s⎪ ⎭ Idet alle tre koordinater i krydsproduktet er forskellige fra 0, så vælger vi at løse de to første ligninger og anvende den tredie som kontrol: ⎧ 1+ 4 = −1 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩2 + 5 = 2 + 2 ⎭ ⇔ t t s 26 ⎧ 4t = −2 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩− 2s + 5t = 0⎭ 0 4 D = = 8 Ds = −2 5 −2 4 = −10 0 5 0 −2 Dt = = −4 −2 0 s Ds = = D −10 4 = − 8 5 Dette indsættes i den tredie ligning: Dt t = = D − 4 1 = − 8 2 2 + 6t = − 5+ 4s ⇒ 2 + 6⋅ ( − 1) = − 5+ 4⋅ ( − 4) ⇔ − 1= − Dette er tydeligvis ukorrekt, så de to linier har intet skæringspunkt, og er derfor vindskæve. Eksempel Linierne med parameterfremstillingerne ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ + 5 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ 6 ⎜2⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎝1⎠ 2 og 5 ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ + 8 ⎛−6⎞ ⎜ ⎟ 8 ⎜−4⎟ ⎜ ⎟ 10 ⎝ 5 ⎠ skærer hinanden i punktet ( 2; 4; − 5) : For det første er linierne ikke parallelle, idet krydsproduktet af retningsvektorerne ikke er nulvektoren: 41 5
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?