Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

⎧− x + 3z = 1+ 2t ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ 2x + 3z = −2t ⎭ som løses ved determinantmetoden D = −1 2 3 = −1⋅ 3− 2⋅ 3 = −9 3 t Dx = t t t t + 1 2 −2 3 = ( 1+ 2 ) 3− ( − 2 ) 3 = 3+ 12 3 eller Eksempel D z = − 1 1+ 2t = ( −1)( −2t) − 2( 1+ 2t) = −2 −2t 2 −2t x Dx t = = t D + 3 12 1 4 = − − −9 3 3 z Dz −2 − 2t 2 2 = = = + t D −9 9 9 . Skæringslinien har altså parameterfremstillingen ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = 1 4 ⎛− ⎞ ⎛− ⎞ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 9 2 9 Vinklen v mellem α og β ses straks at være lig vinklen mellem normalvektorerne nα og nβ . Denne vinkel findes vha. standardmetoderne: nα ⋅nβ ( −1) ⋅ 2 + 2⋅ 2 + 3⋅ 3 11 cosv = = = n n 2 2 2 2 2 2 ( − 1) + 2 + 3 2 + 2 + 3 14 17 α β ⎛ 11 ⎞ v = arccos ⎜ ⎟ ≈ 445185 . ° ⎝ 14 17 ⎠ Vi vil finde fællesmængden mellem planerne α og β givet ved α:2x − y − z = 9 og ⎛x⎞ ⎜ ⎟ β: ⎜y⎟ s t ⎜ ⎟ ⎝z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 1 2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 0 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 ⎝−3⎠ Det letteste er her at indsætte udtrykkene for x, y og z fra β's parameterfremstilling i α 's ligning. Herved opnås en sammenhæng mellem parametrene s og t, og den ene parameter kan elimineres: @ @ 2( 1+ 2s + t) − ( 1+ 2t) − ( 1+ s− 3t ) = 9 3s + 3t = 9 s = 3 − t 23
Dette udtryk indsættes i β's parameterfremstilling, hvorved skæringsliniens parameterfremstilling opnås: ⎛ x⎞ t t ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t t t t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ t t = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ = ⎛ + − + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ + − − ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 1 2 1 1 6 2 7 ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ 1 ( 3 ) 0 2 1 2 1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 3 1 3 3 4 ⎝−4⎠ Den bitre erfaring viser, at hvis begge planer er beskrevet ved en parameterfremstilling, så der det nemmest at omskrive den ene parameterfremstilling til en ligning, før man finder skæringslinien. For linier i rummet gælder følgende sætning: Sætning 22 (LS) To linier l og m i rummet er enten a) sammenfaldende, b) parallelle og ikke sammenfaldende, c) skærende, eller d) vindskæve. Bevis: At to linier er vindskæve betyder simpelthen, at de hverken er parallelle eller skærende - se figuren illustrerende tilfældene b), c) og d). Beviset for sætningen bliver med denne definition trivielt, idet tilfælde d) opfanger det, som ikke hører ind under a), b) eller c). b) c) d) parallelle linier skærende linier vindskæve linier Sætningen fortæller desværre ikke, hvorledes man undersøger to liniers beliggenhed i forhold til hinanden. Metoden er som følger: Man starter med at undersøge, om linierne er parallelle. Dette gøres ved at undersøge, om retningsvektorerne er parallelle. 24
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?