Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
⎧−<br />
x + 3z = 1+ 2t<br />
⎫<br />
⎨<br />
⎬<br />
⎩ 2x + 3z = −2t<br />
⎭<br />
som løses ved determinantmetoden<br />
D = −1<br />
2<br />
3<br />
= −1⋅ 3− 2⋅ 3 = −9<br />
3<br />
t<br />
Dx<br />
=<br />
t<br />
t t t<br />
+ 1 2<br />
−2<br />
3<br />
= ( 1+ 2 ) 3− ( − 2 ) 3 = 3+ 12<br />
3<br />
eller<br />
Eksempel<br />
D<br />
z =<br />
− 1 1+ 2t<br />
= ( −1)( −2t) − 2( 1+ 2t) = −2 −2t<br />
2 −2t<br />
x Dx<br />
t<br />
= = t<br />
D<br />
+ 3 12 1 4<br />
= − −<br />
−9<br />
3 3<br />
z Dz<br />
−2 − 2t<br />
2 2<br />
= = = + t<br />
D −9<br />
9 9 .<br />
Skæringslinien har altså parameterfremstillingen<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
1 4 ⎛−<br />
⎞ ⎛−<br />
⎞<br />
3 3<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
2<br />
9<br />
2<br />
9<br />
Vinklen v mellem α og β ses straks at være lig vinklen mellem normalvektorerne<br />
<br />
nα og nβ<br />
. Denne vinkel findes vha. standardmetoderne:<br />
<br />
nα ⋅nβ<br />
( −1) ⋅ 2 + 2⋅ 2 + 3⋅ 3 11<br />
cosv<br />
= =<br />
=<br />
n n<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( − 1) + 2 + 3 2 + 2 + 3 14 17<br />
α β<br />
⎛ 11 ⎞<br />
v = arccos ⎜ ⎟ ≈ 445185 . °<br />
⎝ 14 17 ⎠<br />
Vi vil finde fællesmængden mellem planerne α og β givet ved<br />
α:2x − y − z = 9 og<br />
⎛x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
β: ⎜y⎟<br />
s t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
1 2 ⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
1 0 ⎜ 2 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
1 1 ⎝−3⎠<br />
Det letteste er her at indsætte udtrykkene for x, y og z fra β's parameterfremstilling i α<br />
's ligning. Herved opnås en sammenhæng mellem parametrene s og t, og den ene<br />
parameter kan elimineres:<br />
@<br />
@<br />
2( 1+ 2s + t) − ( 1+ 2t) − ( 1+ s− 3t ) = 9<br />
3s + 3t = 9<br />
s = 3<br />
− t<br />
23