Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

(Figuren illustrerer tilfældene b) og c). )
Bevis:
Vi lader ligningerne for de to planer være
α:a1x + b1 y + c1z + d1
= 0 og
β:a2x + b2 y + c2 x + d2
= 0
De to normalvektorer betegnes nα og nβ - vi har altså
n
α =
⎛a1
⎞
⎜ ⎟
⎜b1
⎟
⎜ ⎟
⎝c
⎠
1
og
21
n
β =
⎛a2⎞
⎜ ⎟
⎜b2
⎟
⎜ ⎟
⎝c
⎠
Hvis begge disse normalvektorer er parallelle, så er planerne ligeledes parallelle, og vi
er i tilfælde a) eller b).
Hvis disse to tværvektorer ikke er parallelle, så ved vi, at krydsproduktet
n × n ≠ 0. Dette betyder, at mindst en af koordinaterne i dette krydsprodukt ikke
α β
er nul.
Lad os i første omgang antage, at det er x-koordinaten, som ikke er nul. Denne xkoordinat
er lig
D
= 1 1
b c
b c
2 2
.
Vi kan nu parametrisere de fælles punkter på α og β ved at parametrisere løsningerne
til ligningssystemet
⎧ a1x + b1 y + c1z + d1
= 0 ⎫
⎨
⎬
⎩a2x
+ b2 y + c2z + d2
= 0⎭
.
Dette gøres ved at kalde parameteren t, og lade x = t . Ligningssystemet kan da
omskrives til
⎧ b y + c z = −a t − d
⎨
⎩b
y + c z = −a t − d
1 1 1 1
2 2 2 2
Dette ligningssystems determinant er netop
D
= 1 1
b c
b c
2 2
⎫
⎬
⎭
2