Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Idet er AB → og AC → AB → ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − − ⎠ = 0 0 ⎛0⎞ 3 ⎜ ⎟ 0 3 2 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ 0 ( 3) ⎝3⎠ 9 ⎛− ⎞ → → 2 ⎜ ⎟ 9 AB× AC = ⎜ ⎟ ≠ 0 , 2 ⎜ 9 ⎝− ⎟ ⎠ 19 4 AC → ikke parallelle. Parameterfremstillingen bliver nu ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 0 3 ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ 3 0 ⎜ 0 2 ⎟ 3 0 ⎜ 3 ⎝− ⎟ ⎠ 2 3 3 ⎛ − − 0 ⎞ ⎛− ⎞ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0− 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎝0 − ( −3) ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 3 ⎠ Opgave: Find en ligning for planen indeholdende punkterne A = ( 1, 2, 3 ) , B = ( 10 , , 0 ) og C = ( −2, 31 , ) . Løsning: Vi har brug for en normalvektor n til planen. Denne vektor kunne f.eks. være → → n = AB× AC (forudsat, at denne ikke er nulvektoren): AB → ⎛1− 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜0 − 2⎟ = ⎜−2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 −3⎠ ⎝−3⎠ ⎛ 7 ⎞ → → ⎜ ⎟ n = AB× AC = ⎜ 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−6⎠ AC → Idet planen jo går gennem (1,2,3), så får vi følgende ligning: 7( x − 1) + 9( y − 2) − 6( x − 3) = 0 ⎛− − ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ = 2 1 ⎛−3⎞ ⎜ ⎟ 3 2 ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 ⎝−2⎠ En linie i rummet kan desværre ikke beskrives ved en ligning - som vi skal se nedenfor, så er det nødvendigt med to ligninger. Men vi kan stadigvæk finde en parameterfremstilling, ganske som i plangeometrien:
Sætning 20 (FS) Linien med retningsvektoren r Reg<strong>net</strong> opgave Opgave: Find en parameterfremstilling for linien gennem punkterne A = ( 1, 4, 8 ) og B = ( −35 , , 0 ) . Løsning: En retningsvektor for linien må være AB → ⎛− − ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ = 3 1 ⎛−4⎞ ⎜ ⎟ 5 4 ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 0 8 ⎝−8⎠ En parameterfremstilling for denne linie er da ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 1 ⎛−4⎞ ⎜ ⎟ 4 ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 8 ⎝−8⎠ ⎛r1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜r2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝r ⎠ har parameterfremstillingen ⎛ x⎞ x r ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ y t r ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ z r = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 0 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Vi skal nu se på, hvorledes planer og linier kan skære hinanden. Vi starter med at betragte fællesmængden mellem to planer: Sætning 21 (LS) To planer α og β er enten a) sammenfaldende b) parallelle, og uden fælles punkter, eller c) skærende - fællesmængden er da en linie. 0 20 3 3 gennem punktet ( x0, y0, z0 )
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?