Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Indhold 4. Rumgeometri 4.1 Vektorer i rummet 2 4.2 Krydsproduktet 7 4.3 Planer og linier 16 4.4 Dimensionsbegrebet 32 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet 34 4.6 Projektioner på plan 43 4.7 Kugler 46 4.8 Opgaver 48 Facitliste 52 Sammenligning mellem plan- og rumgeometri 54 Kapiteloversigt 55 Anvendte symboler Sætninger, definitioner og formler er mærket med FS: sætningen findes i formelsamlingen LS: lær selv formlen udenad - den findes (underligt nok) ikke i formelsamlingen, og du får sikkert brug for den til eksamen 1
4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu generalisere plangeometriens vektorer til rumgeometrien (eller stereometrien). De fleste af definitionerne og sætningerne i dette afsnit ligner plangeometriens resultater til forveksling, og der udelades derfor mange detaljer. For det første har vi brug for et koordinatsystem i rummet. Dette er ganske simpelt at lave: Man tager et sædvanligt koordinatsystem i planen og sætter en tredie akse - z-aksen - på. Denne skal stå vinkelret på de to andre akser, og dette gøres i praksis ved, at z-aksen står vinkelret på den plan, x- og y-akserne danner. Vi skal vælge z-aksens retning. Man plejer at vælge denne retning, således at man får et højreskruet system: Holdes højre hånd således, at omløbsretningen, dvs. retningen fra x- til y-aksen, følger med de fire fingre, så skal z-aksen pege i tommelfingerens retning. z x En rumvektor er en pil i rummet. Alle de sædvanlige operation, addition, subtraktion og skalarmultiplikation, er defineret på samme måde som i plangeometrien. Nedenstående regler bevises ganske som i det plane tilfælde: Sætning 1 Lad a , b og c være vektorer i rummet, og lad s og t være skalarer. Da gælder, at a) a + b = b + a b) a + ( b + c) = ( a + b) + c c) a + 0 = 0 + a = a d) t( a + b) = ta + tb e) ( s + t) a = sa + ta f) ( st ) a = s( ta) = t( sa) g) 0a = 0 h) ( − 1) a = −a i) a + b ≤ a + b j) a − b ≤ a + b 2 y
Page 1: Matematikkens mysterier - på et h
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54:
1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56:
Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57:
Planen med normalvektoren ⎛a⎞
show all

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?