Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Eksempel yz-planen i koordinatsystemet er den plan, der indeholder både y- og z-aksen. Vi vil finde en ligning for denne plan: Først bemærker vi, at i er en normalvektor for denne plan. Dernæst observeres, at denne plan indeholder punktet O = ( 0, 0, 0 ) . Dette giver ligningen 1( x − 0) + 0( y − 0) + 0( z − 0) = 0 eller, simplere skrevet x = 0 Tilsvarende ses xz-planen at have ligningen y = 0, og xy-planen har ligningen z = 0. En anden måde at beskrive en plan på er ved hjælp af en parameterfremstilling. Nu er planen et todimensionalt objekt (mere herom senere), så det er nødvendigt med to parametre: Vi vælger et punkt P0 i planen, samt to ikke-parallelle vektorer (retningsvektorer) p og q , som er parallelle med planen. På figuren ses, at punktet P ligger i planen, hvis og kun hvis → der findes reelle tal s og t, så at P P = sp + tq . (s og t kaldes parametrene i parameterfremstillingen.) Lader vi P0 = ( x0, y0 , z0) , P = ( x, y, z) , p 0 ⎛ p1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ p2⎟ og ⎜ ⎟ ⎝ p ⎠ ⎛q1⎞ ⎜ ⎟ q = ⎜q2⎟ , så kan ovenstående ⎜ ⎟ ⎝q ⎠ ligning omskrives til den endelige udgave af parameterfremstillingen for en plan: ⎛ x⎞ x p q ⎜ ⎟ (19) ⎜ y⎟ y s p t q ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ z p q = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 0 1 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 0 2 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 Eksempel yz-planen fra før har følgende parameterfremstilling: 3 → q P 0 3 17 → p P 3 3
⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 0 0 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 0 1 ⎜0⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎝1⎠ 18 eller ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ t = ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - denne plan indeholder nemlig punktet (0,0,0) og har retningsvektorerne j og k Vi vil nu se, hvorledes man kan gå fra den ene beskrivelse af en plan til den anden. Regnede opgaver Opgave: Find en ligning for planen med parameterfremstillingen ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + 1 4 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 2 1 ⎜2⎟ ⎜ ⎟ 3 6 ⎝1⎠ Løsning: Vi ser umiddelbart af parameterfremstillingen, at planen indeholder punktet (1,2,3). Endvidere er vektorerne ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ r1 = ⎜−1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ og r ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 2 = ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ikke-parallelle retningsvektorer for planen, idet deres krydsprodukt ikke er nulvektoren. Vi finder en normalvektor n for planen som n = r × r n = ⎛−13⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ Heraf ses, at en ligning for planen er −13( x − 1) − 4( y − 2) + 8( z − 3) = 0 eller, skrevet pænere, −13x − 4y + 8z − 3= 0 Opgave: Find en parameterfremstilling for planen med ligningen 2x − 2y + z + 3 = 0. 1 2 : Løsning: Strategien er at finde tre punkter A, B og C i planen. Disse skal ikke ligge på → → sammen linie. AB og AC er da to ikke-parellelle retningsvektorer for planen. Sættes x = y = 0, så ses, at punktet A = ( 0, 0, −3 ) ligger i planen. Tilsvarende kan man sætte x = z = 0, hvilket giver, at B = ( 0, 3 2 , 0) ligger i planen. Endelig ligger C = ( − 3 2 , 0, 0 ) i planen. Vi finder retningsvektorerne AB → og AC → :
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?