Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Eksempel<br />
yz-planen i koordinatsystemet er den plan, der indeholder både y- og z-aksen. Vi vil<br />
finde en ligning for denne plan:<br />
Først bemærker vi, at i er en normalvektor for denne plan. Dernæst observeres, at<br />
denne plan indeholder punktet O = ( 0, 0, 0 ) . Dette giver ligningen<br />
1( x − 0) + 0( y − 0) + 0( z − 0) = 0<br />
eller, simplere skrevet<br />
x = 0<br />
Tilsvarende ses xz-planen at have ligningen y = 0, og xy-planen har ligningen z = 0.<br />
En anden måde at beskrive en plan på er ved hjælp af en parameterfremstilling. Nu er<br />
planen et todimensionalt objekt (mere herom senere), så det er nødvendigt med to parametre:<br />
Vi vælger et punkt P0 i planen, samt to ikke-parallelle vektorer (retningsvektorer) p og<br />
<br />
q , som er parallelle med planen. På figuren ses, at punktet P ligger i planen, hvis og kun hvis<br />
→ <br />
der findes reelle tal s og t, så at P P = sp + tq . (s og t kaldes parametrene i<br />
parameterfremstillingen.)<br />
Lader vi P0 = ( x0, y0 , z0)<br />
, P = ( x, y, z)<br />
, p<br />
0<br />
⎛ p1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎜ p2⎟<br />
og<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ p ⎠<br />
⎛q1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
q = ⎜q2⎟<br />
, så kan ovenstående<br />
⎜ ⎟<br />
⎝q<br />
⎠<br />
ligning omskrives til den endelige udgave af parameterfremstillingen for en plan:<br />
⎛ x⎞<br />
x p q<br />
⎜ ⎟<br />
(19) ⎜ y⎟<br />
y s p t q<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
z p q<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
0 1 ⎛ 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
0 2 ⎜ 2⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
Eksempel<br />
yz-planen fra før har følgende parameterfremstilling:<br />
3<br />
→<br />
q<br />
P<br />
0<br />
3<br />
17<br />
→<br />
p<br />
P<br />
3<br />
3