Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Vi afslutter med følgende sætning:
Bevis:
Sætning 16 (FS)
⎛b1⎞
⎛c1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
( a ⋅ c)
⎜b2
⎟ − ( a ⋅b)
⎜c2⎟
= ( a ⋅c) b −( a ⋅b
) c
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝b
⎠ ⎝c
⎠
3
Lad a og b være egentlige vektorer.
1) Parallelogrammet udspændt af a og b har arealet
a × b .
a × b .
2) Trekanten udspændt af a og b har arealet 1
2
3
Ligesom i det plangeometriske tilfælde er arealet af parallelogrammet og af trekanten
givet ved henholdsvis
a b sin v og 1
2
a b sin v , hvor v er vinklen mellem a og b .
Sætningen følger nu af definition 10, idet
a × b = a b sin v .
Regnet opgave
Opgave: Parallelogrammet ABCD er givet ved A = ( 111 , , ) , B = ( 2, 3, −4
) og
C = ( −2,
31 , ) . Bestem koordinaterne for punktet D, og beregn arealet af
parallelogrammet ABCD.
Løsning: Vi har umiddelbart, at
AB
→
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎝−
− ⎠
=
2 1 ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
3 1 ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟
4 1 ⎝−5⎠
AC
→
⎛−
− ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎝ − ⎠
=
2 1 ⎛−3⎞
⎜ ⎟
3 1 ⎜ 2 ⎟ .
⎜ ⎟
1 1 ⎝ 0 ⎠
Kaldes koordinatsystemets begyndelsespunkt for O, og benyttes at
→ →
AB = DC (ABCD er jo et parallelogram), så fås
14
og