Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Derimod har vi Sætning 15 i × ( i × j) = i × k = − j ≠ 0 = 0 × j = ( i × i ) × j Lad a , b og c være vektorer. Så gælder a) a × ( b × c) = ( a ⋅c) b −( a ⋅b ) c b) ( a × b) × c = ( a ⋅c) b −( b ⋅ c) a Bevis: Beviserne for a) og for b) er som snydt ud af næsen på hverandre, så vi nøjes med at bevise a). Dette foregår ved koordinatopskrivning: ⎛a1 ⎞ ⎛b1⎞ ⎛c1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a = ⎜a2⎟ , b = ⎜b2⎟ , c = ⎜c2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ ⎝b ⎠ ⎝c ⎠ 3 Efter at have indført notationen, så er det bare at smøge ærmerne op: 3 ⎛a ⎞ b c a b c b c ⎜ ⎟ a × b × c = ⎜a ⎟ b c a b c b c ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ b c a b c b c × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ × ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ = 1 1 1 1 2 3 3 2 ( ) 2 2 2 2 3 1 1 3 3 ⎛a2 ( b1c2 −b2 c1) − a3( b3c1 −b1c3) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜a3( b2c3 −b3 c2 ) −a1( b1c2 −b2 c1) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a ( b c − b c ) − a ( b c − b c ) ⎠ = 1 3 1 1 3 2 2 3 3 2 ⎛b1a2c2 + b1a3c3 −c1a2b2 − c1a3b3⎞ ⎜ ⎟ ⎜b2a1c1 + b2a3c3 −c2a1b1 −c2a3b3⎟ ⎜ ⎟ ⎝b a c + b a c −c a b − c a b ⎠ = 3 1 1 3 2 2 3 1 1 3 2 2 13 3 3 3 3 1 2 2 1 ⎛ b1a1c1 + b1a2c2 + b1a 3c3 − c1a1b1 − c1a2b2 − c1a3b3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜b2a1c1 + b2a2c2 + b2a 3c3 − c2a1b1 − c2 a2b2 −c2a3b3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ b a c + b a c + b a c − c a b − c a b − c a b ⎠ = 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 ⎛ b1( a1c1 + a2c2 + a3c3) − c1( a1b1 + a2b2 + a3b3) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜b2 ( a1c1 + a2c2 + a3c3) − c2( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝b ( a c + a c + a c ) − c ( a b + a b + a b ) ⎠ = 3 1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3
Vi afslutter med følgende sætning: Bevis: Sætning 16 (FS) ⎛b1⎞ ⎛c1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( a ⋅ c) ⎜b2 ⎟ − ( a ⋅b) ⎜c2⎟ = ( a ⋅c) b −( a ⋅b ) c ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝b ⎠ ⎝c ⎠ 3 Lad a og b være egentlige vektorer. 1) Parallelogrammet udspændt af a og b har arealet a × b . a × b . 2) Trekanten udspændt af a og b har arealet 1 2 3 Ligesom i det plangeometriske tilfælde er arealet af parallelogrammet og af trekanten givet ved henholdsvis a b sin v og 1 2 a b sin v , hvor v er vinklen mellem a og b . Sætningen følger nu af definition 10, idet a × b = a b sin v . Reg<strong>net</strong> opgave Opgave: Parallelogrammet ABCD er givet ved A = ( 111 , , ) , B = ( 2, 3, −4 ) og C = ( −2, 31 , ) . Bestem koordinaterne for punktet D, og beregn arealet af parallelogrammet ABCD. Løsning: Vi har umiddelbart, at AB → ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− − ⎠ = 2 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 3 1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 4 1 ⎝−5⎠ AC → ⎛− − ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ = 2 1 ⎛−3⎞ ⎜ ⎟ 3 1 ⎜ 2 ⎟ . ⎜ ⎟ 1 1 ⎝ 0 ⎠ Kaldes koordinatsystemets begyndelsespunkt for O, og benyttes at → → AB = DC (ABCD er jo et parallelogram), så fås 14 og
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?