Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Regel 2) følger af højrehåndsreglen; bytter man om på rækkefølgen af a og b , så<br />
skal højre hånd også vendes om, hvilket betyder, at tommelfingeren kommer til at pege<br />
i den modsatte retning.<br />
Ved beviset for regel 3) starter man med at observere, længderne af de indgående<br />
vektorer er ens. Man skal da blot undersøge retningerne, og her skal man dele op i tre<br />
tilfælde: k > 0 , k = 0 , k < 0 .<br />
Når k er positiv, så bliver den ene af vektorerne k gange længere, hvilket gør længden<br />
af krydsproduktet k gange længere; men alle retninger forbliver uændrede.<br />
Når k er nul, så bliver en af faktorerne i krydsproduktet nulvektoren, og dette gør<br />
naturligvis resultatet til nulvektoren.<br />
Når k er negativ, så ændres retningen af en af vektorerne til den modsatte, hvilket<br />
ændrer omløbsretningen af faktorerne. Højre hånd skal da vendes på hovedet, hvilket<br />
igen ændrer retningen af krydsproduktet.<br />
Reglerne 4) og 5) er temmeligt komplicerede at bevise, så vi nøjes med at give et<br />
overbevisende eksempel nedenunder.<br />
Eksempel<br />
Vi vil vise, at <br />
i × ( j + k) = i × j + i × k .<br />
Højresiden er en smal sag at udregne, idet vi har sætning 12:<br />
<br />
i × j + i × k = k + ( − j) = − j + k<br />
Længden af denne vektor er<br />
⎛ 0 ⎞<br />
⎜ ⎟ 2 2 2<br />
− j + k = ⎜−1⎟<br />
= 0 + ( − 1) + 1 = 2 .<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 1 ⎠<br />
Venstresiden er værre; vi har<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
j + k = ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
0 0 ⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
1 0 ⎜1⎟<br />
⎜ ⎟<br />
0 1 ⎝1⎠<br />
hvilket giver<br />
2 2 2<br />
j + k = 0 + 1 + 1 = 2<br />
Vi betegner vinklen mellem i og <br />
j + k med v. Idet<br />
<br />
i ⋅ ( j + k) = i ⋅ j + i ⋅ k = 0 + 0 = 0<br />
er v = 90 ° , og faktorerne i krydsproduktet på venstresiden er orthogonale. Derfor<br />
fås<br />
<br />
i × ( j + k) = i j + k sin90°= 1⋅ 2 ⋅ 1= 2 .<br />
10