Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Bevis:
Vi har, at
a × b kun kan være 0, når længden af
a b
ved
a × b = a b sin v
9
× er 0. Denne længde er givet
og idet a og b er egentlige vektorer, så kan denne længde kun være nul, når
faktoren sinv er 0. Det er den netop når vinklen v mellem a og b er enten 0° eller
180°, dvs. når a og b er parallelle.
Vi vil nu prøve at udregne krydsproduktet af standardvektorerne i , j og k . Idet vi får brug
for dette resultat, når vi skal finde et koordinatudtryk for krydsproduktet, formulerer vi
resultatet som en sætning:
Sætning 12
1)
2)
3)
Vi har følgende krydsprodukter:
i × i = j × j = k × k = 0
i × j = k j × k = i k × i = j
j × i = − k k × j = − i i × k = − j
Bevis:
De tre krydsprodukter i 1) giver alle 0, idet en vektor jo altid er parallel med sig selv.
I 2) og 3) ser man først, at alle krydsprodukterne har længden 1 - faktorerne i
krydsproduktet er alle enhedsvektorer, og vinklen mellem to af vektorerne er altid 90°
. Retningen kan så bestemmes af højrehåndsreglen (Prøv!).
Her er nogle regneregler for krydsproduktet:
Sætning 13 (LS)
1)
a × a = 0 2)
a × b = − b × a
3) ( ka) × b = a × ( kb) = k( a × b)
4)
a × ( b + c) = a × b + a × c 5) ( a + b) × c = a × c + b ×
c
Bevis:
Regel 1) følger umiddelbart af sætning 11, idet en vektor altid er parallel med sig selv.