Lektion 9s Opgaver.pdf

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
Lektion 9s – Statistik - supplerende opgaver
Middelværdi for grupperede observationer ....................................
Summeret frekvens og sumkurver ..................................................
Indekstal ..........................................................................................
Lektion 9s Side 13

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
Grupperede observationer
1: En klasse med store skolebørn er blevet spurgt om,
hvor mange timer om ugen de bruger på fritidsjob.
Svarerne er vist til højre.
a: Hvor mange børn er der?
b: Hvor mange af børnene
arbejder under 5 timer?
c: Hvor mange af børnene
arbejder mindst 15 timer?
d: Udfyld hyppigheds- og
frekvenstabellen herunder.
Allan 12 Henrik 18 Majken 1 Palle 8
Anton 8 Hugo 11 Marie 2 Steen 5
Berit 3 Ida 8 Mona 4 Stine 2
Chr. 0 Lasse 9 Nanna 15 Tine 0
Danny 6 Line 6 Niels 17 Troels 13
Antal timer 0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 19 I alt
Hyppighed
Frekvens
e: Lav et diagram ud fra frekvenstallene - hvad hedder sådan et diagram?
f: Hvor mange timer arbejder børnene i gennemsnit om ugen?
2: Medarbejderne på en virksomhed er blevet spurgt
om deres månedsløn. Svarerne er vist til højre.
a: Hvor mange medarbejdere er der?
b: Hvor mange af medarbejderne tjener under
15.000 kr. om måneden?
c: Hvor mange af medarbejderne tjener over
25.000 kr. om måneden?
d: Udfyld hyppigheds- og frekvenstabellen.
Månedsløn i kr. Hyppighed Frekvens
[10.000 ; 15.000[
[15.000 ; 20.000[
[20.000 ; 25.000[
[25.000 ; 30.000[
I alt
Ham her…
Hvor mange
kroner tjener
du om
12.700 17.250 19.500
måneden? 28.300 10.950 14.300
17.550 16.450 26.400
13.200 22.500 20.950
23.900 18.200 15.000
e: Hvor mange procent af
medarbejderne tjener mindst
20.000 kr. om måneden?
f: Lav et histogram over
frekvenstallene.
…bruger så
mange timer
om ugen
Så mange
Lektion 9s Side 14

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
3: Tabellen til højre viser befolkningens
aldersfordeling i Udby Kommune.
a: Lav skemaet i dit hæfte og udfyld de
tomme pladser i procent-kolonnen.
b: Hvor mange procent af indbyggerne
er under 20 år?
c: Hvor mange procent af indbyggerne
er fyldt 70 år?
d: Hvor mange procent af indbyggerne
er i aldersgruppen 30 - 59 år?
e: Hvor mange personer er der i
aldersgruppen 30 - 34 år?
Du kan ikke svare præcist men kom med
et bud på et cirka-tal.
f: Lav et histogram ud fra procenttallene.
Alder Antal personer Antal procent
[0 ; 10[ 1.595
[10 ; 20[ 1.345
[20 ; 30[ 1.719
[30 ; 40[ 1.918
[40 ; 50[ 1.732
[50 ; 60[ 1.694
[60 ; 70[ 1.109
[70 ; 80[ 847
[80 ; 90[ 424
[90 ; 100[ 69
[100 ; 110[ 6
I alt 12.458
4: Hvis du har brug for mere træning i at arbejde med grupperede observationer,
kan du kikke tilbage til opgave 14 og 15.
Begge opgaver omhandler aldersfordelinger på VUC-hold.
Lav tabeller med hyppighed og frekvens samt diagrammer ud fra tallene i opgaverne.
Du bestemmer selv, hvilke aldersintervaller du bruger.
Hvis du vil lave søjlediagrammer (histogrammer), skal dine aldersintervaller
være lige brede.
Lektion 9s Side 15

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
Middelværdi for grupperede observationer
5: Fritidsjobs
a: Hvor mange mennesker deltog i undersøgelsen?
b: Find et cirkatal for den gennemsnitlige timeløn.
Tallene i tabellen er upræcise. Hvor skal man fx
placere en person, der tjener præcis 40 kr. i timen?
c: Giv et forslag til hvorledes man kan skrive lønintervallerne
med firkantede parenteser.
d: Giv et forslag til hvorledes man kan skrive lønintervallerne
med "mindre end"- og "større end"tegn.
(Det er svært)
6: Transporttid
a: Hvor mange mennesker deltog i undersøgelsen?
b: Hvor mange personer bruger under 10 min?
c: Hvor mange personer bruger en time eller mere?
d: Hvor mange personer bruger under en halv time?
(Du kan ikke svare præcist, men prøv at komme
med et kvalificeret gæt)
e: Find i hele tal den gennemsnitlige transporttid.
f: En person bruger præcis 20 min. I hvilket minutinterval
hører personen til?
g: Kan du skrive intervallerne med "mindre end"- og
"større end"-tegn?
(Det er svært. Du skal starte sådan: 0

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
Summeret frekvens og sumkurver
8: TV-forbrug
a: Hvor mange personer svarede på spørgsmålet?
b: Hvor mange af personerne så
højst TV i cirka 2 timer pr. dag?
c: Lav ud fra tabellen til højre en ny tabel med
frekvens og summeret frekvens.
d: Tegn et diagram ud fra frekvens-tallene.
e: Tegn en sumkurve ud fra de summerede
frekvenser.
f: Aflæs et cirka-tal for medianen.
g: Beregn et cirka-tal for det
gennemsnitlige TV-forbrug.
h: Sammenlign median og gennemsnit.
9: Alkohol-undersøgelse
a: Hvor mange personer svarede på spørgsmålet?
b: Hvor mange af personerne drak
højst cirka 2 genstande pr. dag?
c: Lav ud fra tabellen til højre en ny tabel med
frekvens og summeret frekvens.
d: Tegn en sumkurve ud fra de summerede
frekvenser.
e: Aflæs et cirka-tal for medianen.
f: Beregn et cirka-tal for det
gennemsnitlige alkohol-forbrug.
g: Sammenlign median og gennemsnit.
10: De to opgaver ovenfor ligner hinanden meget, men der en forskel.
I den øverste opgave skal du både lave et histogram og en sumkurve.
I den nederste opgave skal du kun lave en sumkurve.
Kan du forklare hvorfor det vil være svært at tegne
et fornuftigt histogram ud fra tallene i den nederste opgave?
Undersøgelse af TV-forbrug
En gruppe personer er blevet
spurgt efter, hvor mange timer
de ser TV på en uge.
Antal timer Antal svar
[0 ; 5[ 5
[5 ; 10[ 15
[10 ; 15[ 21
[15 ; 20[ 14
[20 ; 25[ 11
[25 ; 30[ 5
[30 ; 35[ 2
Alkohol-undersøgelse
En gruppe personer er blevet
spurgt efter, hvor meget
alkohol (antal genstande) de
typisk drikker på en uge.
Antal
genstande
Antal svar
[0 ; 5[ 15
[5 ; 15[ 29
[15 ; 30[ 12
[30 ; 50[ 8
[50 ; 75[ 2
Lektion 9s Side 17

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
11: Udby Idrætsforening
Sumkurven viser aldersfordelingen for
idrætsforeningens medlemmer.
Du skal aflæse en række tal fra kurven.
Nogle tal kan du finde meget præcist.
Andre bliver cirka-tal.
a: Hvor mange procent er under 10 år?
b: Hvor mange procent er fyldt 40 år?
c: Hvor mange procent er under 18 år?
d: Hvor mange procent er fyldt 25 år?
e: Hvor mange procent er i aldersgruppen
fra 30 til 40 år?
f: Hvor mange procent er i aldersgruppen
fra 15 til 25 år?
g: Aflæs medianen.
h: Under hvilken alder er de yngste 30% af
medlemmerne?
i: Over hvilken alder er de ældste 30%
af medlemmerne?
12: Lønfordeling
Sumkurven herunder viser lønfordelingen på en arbejdsplads med mange ansatte.
a: Aflæs medianen.
b: Hvor mange procent tjener over 20.000 kr. om måneden?
c: Hvad er den øvre løngrænse for de 20%, der er lavest lønnet?
d: Hvad er den nedre løngrænse for de 20%, der er højest lønnet?
100%
80%
60%
40%
20%
100%
0%
0 10.000 20.000 30.000 40.000
Månedsløn i kr.
Lektion 9s Side 18
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0 10 20 30 40 50 60 70
Alder

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
13: Løn og flødeboller
a: Find gennemsnitslønnen for
kvinderne på Udby Flødebollefabrik.
b: Find gennemsnitslønnen for
mændene på Udby Flødebollefabrik.
c: Find gennemsnitslønnen for
alle ansatte på Udby Flødebollefabrik.
Resten af spørgsmålene drejer sig om
lønningerne på Flødebollekompagniet.
d: Udfyld tabellen nederst på siden og beregn
middelværdien for både kvinder og mænd.
e: Tegn - i samme koordinatsystem - sumkurver
for både kvindernes og mændenes lønninger.
Brug et helt A4-ark, der ligger ned.
x-akse: 1 cm = 1.000 kr. - start ved 10.000 kr.
y-akse: 1 cm = 10%
f: Aflæs de to medianer på sumkurverne.
g: Find et cirka-tal for både kvindernes og
mændenes gennemsnitsløn.
h: Hvor mange procent (cirka-tal) af de samlede
lønninger går til de kvindelige ansatte?
i: Hvor mange procent af de ansatte er kvinder?
Månedsløn i kr.
[12.500 ; 15.000[
[15.000 ; 17.500[
[17.500 ; 20.000[
[20.000 ; 25.000[
[25.000 ; 30.000[
[30.000 ; 40.000[
I alt
Udby Flødebollefabrik har 5 ansatte.
Der er 2 kvinder, som får 14.554 kr. og
17.736 kr. om måneden.
Der er 3 mænd, som får 13.111 kr.,
18.422 kr. og 21.312 kr. om måneden.
Flødebollekompagniet har 180 ansatte.
Den seneste lønstatistik ser således ud:
Kvinder Mænd
Månedsløn i kr. Kvinder Mænd
[12.500 ; 15.000[ 24 7
[15.000 ; 17.500[ 48 11
[17.500 ; 20.000[ 22 16
[20.000 ; 25.000[ 16 17
[25.000 ; 30.000[ 6 7
[30.000 ; 40.000[ 2 4
Frekvens Frekvens
j: Kan du forklare, hvorledes man kan se på sumkurverne,
at kvindernes løn er lavere end mændenes?
k: Kan du forklare, hvorfor gennemsnits-tallene
er større end median-tallene?
Lektion 9s Side 19

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
14: Histogram → tabel → sumkurve
Histogrammet viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by.
30%
20%
10%
a: Aflæs frekvenserne (cirka-tal) for de
forskellige aldersintervaller og skriv tallene
ind i tabellen til højre.
b: Udregn de summerede frekvenser og skriv
tallene ind i tabellen til højre.
c: Tegn ud fra tallene i tabellen en sumkurve i
koordinatsystemet herunder.
d: Aflæs (cirka-tal) medianen.
e: Find evt. et cirka-tal for gennemsnitsalderen.
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Alder Frekvens Sum. Fre.
[0 ; 15[
[15 ; 30[
[30 ; 45[
[45 ; 60[
[60 ; 75[
[75 ; 90[
[90 ; 105[
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Lektion 9s Side 20

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
15: Sumkurve → tabel → histogram
Sumkurven viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by.
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
a: Aflæs de summerede frekvenserne (cirka-tal)
for de forskellige aldersintervaller og skriv
tallene ind i tabellen til højre.
b: Udregn de frekvenserne og skriv tallene ind i
tabellen til højre.
c: Tegn ud fra tallene i tabellen et histogram i
koordinatsystemet herunder.
d: Sammenlign aldersfordelingen i denne opgave
med aldersfordelingen i sidste opgave. Brug
evt. median og/eller gennemsnitsalder.
30%
20%
10%
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Alder Frekvens Sum. Fre.
[0 ; 15[
[15 ; 30[
[30 ; 45[
[45 ; 60[
[60 ; 75[
[75 ; 90[
[90 ; 105[
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Lektion 9s Side 21

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
Indekstal version 1
16:
Vi har en oversigt over antal brugere af en hjælpefunktion på Internettet.
Da vi er interesseret i at se udviklingen i procent, vil vi ændre de faktiske tal til indekstal.
Vi ønsker at kunne sammenligne med januar måned, så vi sætter denne måned til
indekstal 100.
Beregn indekstallene for de andre måneder – du kan bruge formlen herunder:
Måned jan feb marts april
Antal brugere 2059 2285 3054 3899
Indeks 100
17:
Man har målt Jensens vægt hvert år fra og med år 2000 til og med år 2005.
I år 2000 vejede han 89 kg - året efter vejede han 93 kg - endnu et år senere var vægten
98 kg - i 2003 vejede han 101 kg - efter en slankekur gik vægten året efter ned til 97 kg -
men steg så efter et år med 3 kg.
Indsæt tallene i en tabel med angivelsen af hans vægt de forskellige år, og vis vægtens
udvikling med indekstal.
Hvor mange procent er hans vægt steget fra år 2000 til år 2005?
Lektion 9s Side 22

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
Indekstal version 2
18: Tabellen viser udviklingen i prisen på et glas marmelade fra Udby Marmeladefabrik.
År 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Pris 9,95 10,25 10,45 10,95 11,25 11,75 12,35 12,95 13,95 14,45 14,95
a: Lav en indekstabel over prisudviklingen.
Brug 1990 som basisår.
b: Hvor sker den største stigning målt i kr.?
c: Hvor sker den største stigning målt i procentpoint?
d: Hvor mange procentpoint stiger prisen fra 1998 til 1999?
e: Hvor mange procent stiger prisen fra 1998 til 1999?
f: Lav en ny indekstabel, hvor du bruger 1995 som basisår
19: Tabellen viser udviklingen i prisen på en pakke margarine fra Udby Margarinefabrik.
År 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000
Pris 4,45 5,25 5,75 6,25 6,95 7,45 7,75 7,95 7,45 8,45 8,95
a: Lav en indekstabel over prisudviklingen.
Brug 1980 som basisår.
b: Hvor sker den største stigning målt i kr.?
c: Hvor sker den største stigning målt i procentpoint?
Herunder er vist en tabel over forbrugerprisindekset:
År 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000
Pris 100,0 123,0 139,8 151,7 165,0 177,4 185,5 191,6 199,7 207,9 219,3
d: Sammenlign margarineprisen med forbrugerprisindekset.
e: Hvad havde en pakke margarine kostet i 1990,
hvis prisudviklingen havde fulgt forbrugerprisindekset?
f: Hvad havde en pakke margarine kostet i 2000,
hvis prisudviklingen havde fulgt forbrugerprisindekset?
g: Undersøg inden for hvilken periode, der er den største
prisstigning på margarinen målt i procent.
Udby Marmelade
gør alle mennesker glade.
Udby
Margarine
Udby
Marmelade
Brug Udby Margarine
når du skal stege og bage,
så vil maden vidunderligt smage.
h: Sammenlign prisudviklingen på margarine med prisudviklingen på marmelade (ovenfor).
Du kan naturligvis kun sammenligne årene fra 1990 og fremefter.
Lektion 9s Side 23

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
20: Tabellen viser lønudviklingen for en timelønnet margarinepakker og en månedslønnet
kontorassistent på Udby Margarinefabrik.
År 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Timeløn 77,45 79,25 83,55 87,95 90,75 94,35 97,85 101,25
Månedsløn 17.115 18.356 18.915 19.428 20.292 20.478 20.815 21.094
a: Lav en tilsvarende indekstabel, hvor du bruger 1994 som basisår.
b: Hvad viser indekstallene om lønudviklingen?
c: Tegn i et koordinatsystem, grafer der viser udviklingen i indekstallene.
d: Sammenligne løn-tallene i denne opgave med tallene for margarineprisen
fra forrige opgave. Hvad er vokset mest?
21: Tabellen til højre
viser udviklingen
i befolkningstallet
i de forskellige byer
i Udby Kommune
over en årrække.
Nedenunder er der
begyndt på en
tilsvarende tabel
med indekstal.
a: Udfyld de tomme
pladser i indekstabellen.
b: Hvor meget er befolkningstallet
i Udby vokset
fra 1995 til 2000 målt i:
- procentpoint?
- procent?
c: Hvor meget er befolkningstallet
i Gåsedal faldet
fra 1990 til 1995 målt i:
- procentpoint?
- procent?
1975 1980 1985 1990 1995 2000
Udby 6.196 6.902 7.201 6.953 8.095 8.647
Andebjerg 719 758 746 722 704 699
Gåsedal 304 275 284 253 237 202
Skrubberup 898 954 1.057 1.143 1.195 1.257
Sildested 659 737 778 816 897 1.002
Land-områder 707 544 498 416 525 651
I alt 9.483 10.170 10.564 10.303 11.653 12.458
1975 1980 1985 1990 1995 2000
Udby 100 116 131
Andebjerg 100 104 100 97
Gåsedal 100 90 78
Skrubberup 100 118 127 140
Sildested 100 112 136 152
Land-områder 100 77 70 92
I alt 100 131
d: Tegn i et koordinatsystem grafer, der viser udviklingen i indekstallene for de
forskellige byer og områder.
Lektion 9s Side 24

Matematik på Åbent VUC Supplerende opgaver til Trin II
22: Tabellen viser udviklingen i det samlede forbrug af øl, vin og stærk spiritus i Danmark.
Tallene er opgivet i mio. liter.
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Øl 281 343 481 610 638 642 636 628 532
Vin 14 19 29 58 72 106 110 144 165
Spiritus 7 11 14 21 19 21 17 14 15
a: Lav en indekstabel ud fra tallene.
b: Hvad viser indekstallene om udviklingen i forbruget?
c: Inden for hvilken periode er der sket den største stigning i vinforbruget målt i procentpoint?
d: Inden for hvilken periode er der sket den største stigning i vinforbruget målt i procent?
23: Tabellerne viser udviklingen i
antallet af kursister på VUC Udby.
Indekstabellen er komplet, med der
mangler nogle af tallene i den
øverste tabel.
a: Beregn de manglende kursist-tal
og skriv dem ind i tabellen.
b: I hvilket år har der været
forholdsvis flest mænd?
c: I hvilket år har der været
forholdsvis flest kvinder?
d: Lav selv tabeller (både med
almindelige tal og indekstal) for
det samlede antal kursister.
24: Den øverste af tabellerne viser udviklingen i
huslejen i Udby Kommunes ældreboliger.
Der mangler dog nogle tal.
Den nederste tabel viser forbrugerprisindekset.
a: Sammenlign udviklingen i huslejen med
udviklingen i forbrugerprisindekset.
I årene efter 1997 er huslejen blevet reguleret
i takt med udviklingen i forbrugerprisindekset.
b: Beregn de manglende huslejer.
Antal kursister på VUC Udby fordelt på køn
1995 1996 1997 1998 1999 2000
Mænd 128 139 144 132
Kvinder 186 209 216 176
Antal kursister på VUC Udby (indekstal)
1995 1996 1997 1998 1999 2000
Mænd 100,0 108,6 123,4 112,5 103,1 93,0
Kvinder 100,0 93,9 105,6 109,1 98,0 88,9
Husleje pr. måned i Udby Ældreboliger
1995 1996 1997 1998 1999 2000
2.195 2.265 2.325
Forbrugerprisindeks (1980 = 100)
1995 1996 1997 1998 1999 2000
195,6 199,7 204,1 207,9 213,0 219,3
Lektion 9s Side 25