Download

Læsevejledning:
LinAlg
Uge 4, 3.12 – 7.12, 2007
Vi fortsætter diskussionen af abstrakte vektorrum. Ideen er at andre matematiske
objekter har egenskaber, der er helt tilsvarende til de Euklidiske
talrum R n eller til C n . Ved at betragte egenskaberne abstrakt kan man opn˚a
fælles resultater for alle objekterne samtidig. Desuden viser det sig, at man
ofte vil kunne benytte talrummene som modeller for de øvrige eksempler.
Vi vil koncentrere os om 4 konkrete eksempler p˚a vektorrum
• Talrummene R n og C n
• Rummet af m × n matricer R m×n
• Polynomiumsrummet Pn best˚aende af polynomier af grad mindre end
n: p(x) = cn−1x n−1 +cn−2x n−2 +. . .+c1x+c0. Vi betragter ogs˚a rummet
P = ∪ ∞ n=1Pn af alle polynomier.
• Rummet C[a, b] af kontinuerte funktioner p˚a intervallet [a, b], hvor
a, b ∈ R. Vi betragter ogs˚a rummene C n [a, b] af n gange kontinuert
differentiable funktioner p˚a [a, b].
Det har f.eks. vist sig yderst værdifuldt at tænke p˚a funktionerne i C[a, b],
som vektorer, for det giver en mulighed for at benytte geometrisk intuition,
n˚ar man arbejder med funktioner.
Forelæsning 4a: (SL: 3.3-3.4) Vi indfører begreberne linær afhængighed
og uafhængighed. For n vektorer i R n kan vi lade dem være søjlerne i
en n × n matrix X. Sætning 3.3.1 udtrykker at lineær afhængighed (uafhængighed)
er ensbetydende med at X er singulær (invertibel). Derefter inføres
basis og dimension for et vektorrum.
Øvelser: SL: 3.2.2, 3.2.3(a,d,f,g), 3.2.4, 3.2.8, 3.2.9, 3.3.2 (a,d), 3.3.4(b,c)
1

Klassetime 4a: Aflever ugeopgave 3.
Gennemgang af udvalgte opgaver fra øvelserne.
Diskuter, at løsningsrummet til en homogen 2. ordens lineær differentialligning
u ′′ (x) + pu ′ (x) + qu(x) = 0
p, q ∈ R, udgør et underrum i vektorrummet C(R). De der har baggrundsviden
fra MatIntro kan svare p˚a: Hvor mange vektorer (funktioner) skal der
til at udspænde dette underrum?
Gennemgang (hvis ikke gjort tidligere) af ugeopgave 2.
Forelæsning 4b: (SL 3.5-3.6) Basisskift og koordinatskift. Koordinattransformationsmatricen.
Række- og søjlerum.
Egen tid:
• Arbejd med ugeopgave 4. Der kan hentes hjælp i maple manual 4
• Forbered tavlegennemgange af opgaverne stillet til klassetime 4b.
Forelæsning 4c: (SL 3.6, 4.1) Afslutning af 3.6. Definition af lineære
afbildninger. Kerne og billedrum.
Klassetime 4b:
• Diskuter i klassen opgaverne SL 3.3.6, 3.4.11, 3.4.17, 3.B.3.
• Diskuter metoderne sidst p˚a ugesedlen.
• Diskuter eventuelle udest˚aende problemer i ugeopgave 4.
Repetition: Tag SL: chapter test 3.A.
Dimensionsregler:
2

• Dimension af rækkerummet=Dimension af søjlerummet=rang af matricen=antal
ledende variable.
• Dimension af nulrummet=antal frie variable.
Metoder:
• Problem: Afgør om givne vektorer i R n er lineært uafhængige.
Metode: Opskriv matricen med vektorerne som søjler. Udfør Gausselimination.
De oprindelige vektorer er lineært uafhængige, netop n˚ar
der er ledende 1-taller i alle søjler efter elimination (alts˚a ingen frie
variable).
• Problem: Afgør om givne vektorer i R n udspænder R n .
Metode: Opskriv matricen med vektorerne som søjler. Udfør Gausselimination.
De oprindelige vektorer udspænder R n , netop n˚ar der ikke
er 0-rækker efter elimination.
• Problem: Bestem en basis for søjlerummet til en matrix.
Metode: Udfør Gausselimination. Vælg de søjler i matricen før elimination,
som svarer til søjler med ledende 1-taller efter elimination.
Problem (udtynding): Denne metode kan benyttes, n˚ar man ønsker
at udtynde et sæt vektorer til et lineært uafhængigt sæt med samme
span (se SL Theorem 3.4.4(iii)).
• Problem (Udvidelse): Givet lineært uafhængige vektorer i R n . Udvid
til en basis for R n (se SL Theorem 3.4.4(ii)).
Metode: Opskriv matricen med de givne vektorer som søjler. Tilføj en
enhedsmatrix (med lige s˚a mange rækker) til højre for denne og udtynd.
Dvs. udfør Gausselimination og udvælg de søjler før elimination, der
svarer til søjler med ledende 1-taller efter elimination.
• Problem: Bestem en basis for rækkerummet til en matrix.
Metode: Udfør Gausselimination. Vælg de rækker i matricen efter
elimination, som ikke er 0-rækker.
3

• Problem: Bestem en basis for nulrummet for en matrix.
Metode 1: Udfør Gausselimination, fortsæt evt. til du har den reducerede
trappematrix. Sæt den første frie variabel lig 1 og de øvrige lig
0 og løs ligningssystemet. Sæt den næste frie variable lig 1 og de øvrige
lig 0 og løs ligningsystemet osv. Herved fremkommer liges˚a mange
vektorer, som der er frie variable. Disse udgør en basis for nulrummet
for matricen.
Metode 2: Udfør Gausselimination, fortsæt evt. til du har den reducerede
trappematrix. Kald de frie variable s, t, u, . . . eller s1, s2, . . ..
Nulrummet er det samme som den fuldstændige løsningsmængde til
den homogene ligning. Find denne fuldstændige løsning udtrykt ved
de frie variable. Sæt den første frie variabel til 1 og de øvrige til 0. S˚a
f˚ar du første vektor i basis for nulrummet. Sæt dernæst den anden frie
variabel til 1 og de øvrige til 0, s˚a f˚ar du anden vektor i basis osv.
OBS: De to metoder er næsten ens, men den sidste metode giver samtidig
en beskrivelse af nulrummet.
Her er et eksempel. Antag, at den reducerede trappematrix er
⎡
1 2 0 1
⎤
0
⎢ 0
⎢
⎣ 0
0
0
1
0
3
0
⎥
0 ⎥
1
⎥
⎦ .
0 0 0 0 0
Vi ser at x2 og x4 er frie variable. Sættes x2 = s, x4 = t, finder vi
ligningssystemet
x1 + 2s + t = 0, x3 + 3t = 0, x5 = 0,
som har den fuldstændige løsning
L = {(−2s − t, s, −3t, t, 0) | s, t ∈ R}.
Vi aflæser basisvektorerne (og skriver dem som søjler i stedet for som
rækker): ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−2 −1
⎢ 1 ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥ ⎢
⎥ ⎢ −3 ⎥
⎣ 0 ⎦ ⎣ 1 ⎦
0 0
4