Modul 3: Numerisk løsning af differentialligninger - Matematik og ...

Modul 3:
Numerisk løsning af differentialligninger
Matematik og modeller 2009
Thomas Vils Pedersen
Institut for Grundvidenskab og Miljø
vils@life.ku.dk
Eulers metode
For diff.ligningen y ′ (x) = f (x, y). Startpunkt (x0, y0); steplængde h:
y
y(x2) +
y2 +
y(x1) +
y1 +
y0 +
Hældning f (x0, y0)
Hældning f (x1, y1)
h h
+ + + x
x0 x1 x2
Løsningskurven
y = y(x)
x1 = x0 + h, y1 = y0 + f (x0, y0)h,
x2 = x1 + h, y2 = y1 + f (x1, y1)h,
.
.
xn+1 = xn + h, yn+1 = yn + f (xn, yn)h.
.
.
20. maj 2009 — Dias 1/10
Dias 3/10
Oversigt
1 Eulers metode
2 Eulers forbedrede metode
3 Oplæg til Miniprojekt 3
Eksempel
Eulers metode anvendt på
med
y ′ (x) = x + y (= f (x, y))
• begyndelsesbetingelsen y(0.5) = 0.3
• steplængden h = 0.1
[(x−1, y−1), (x−2, y−2) osv. beregnes på tilsvarende vis]
n −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
xn 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yn 0.11 0.16 0.22 0.3 0.38 0.48 0.60 0.74 0.90
y(xn) 0.13 0.17 0.23 0.3 0.39 0.50 0.63 0.79 0.97
(Eksakt løsning y(x) = 1.8 e −0.5 e x − x − 1.)
Dias 2/10
Dias 4/10

Samme eksempel vha. R
Input:
> # Euler: f(x,y)=x+y; y(0.5)=0.3; h=0.1
> f

Samme eksempel vha. R
> # Forbedret Euler: f(x,y)=x+y; y(0.5)=0.3; h=0.1
> f