Kan computere gætte? - datalogiens million-dollar ... - Viden (JP)

A k t u e l N a t u r v i d e n s k a b | 3 | 2 0 0 1
Kan computere gætte?
- datalogiens million-dollar spørgsmål
Hvad har computerspillet “Minestryger”,
stillingen i Superligaen, moderne
kryptografi, skemaplanlægning og
puslespil med hinanden at gøre?
Bag disse ting gemmer sig et centralt
spørgsmål som har optaget matemati-
kere og dataloger i tre årtier.
Af Rasmus Pagh
Et af datalogiens store uløste
problemer er, populært sagt,
hvorvidt computere kan programmeres
til effektivt at lave et
“godt gæt” på f.eks. løsningen
til et skemaplanlægningsproblem,
et svært puslespil eller
en hemmelig kryptografisk
nøgle. Man kan selvfølgelig
finde en løsning ved at søge alle
muligheder igennem, men kan
man finde metoder, som er væsentligt
mere effektive?
Algoritmer der samler
brikkerne
Enhver, der har prøvet at lægge
puslespil, ved, at det er langt
lettere at overbevise sig om, at
puslespillet er lagt korrekt end
faktisk at lægge det. Dette gælder
i særdeleshed typer af puslespil,
hvor der er mange mulig-
Eternity Puzzle © 1999, Christopher Monckton.
heder for hvordan brikker kan
placeres ved siden af hinanden.
Nogle husker måske de puslespil,
der var på mode i
1980erne, hvor man skal lægge
9 kvadratiske brikker i et stort
kvadrat, således at illustrationerne
på brikker, der grænser
op til hinanden, passer sammen.
Ofte kan man lægge de
første 6-8 brikker for så at opdage,
at de sidste brikker ikke
passer, og man må prøve en ny
måde at lægge brikkerne på. Et
puslespil af helt andre dimensioner,
det såkaldte Eternity
Puzzle med over 200 brikker,
blev frigivet i 1999. Sværhedsgraden
understreges af, at der
blev udlovet en præmie på en
million engelske pund til den
der kunne lægge puslespillet (se
foto). Sidste år lykkedes det to
unge engelske matematikere at
lægge puslespillet ved hjælp af
en avanceret computer-søgeteknik.
Når man angriber problemer
som for eksempel Eternity
Puzzle på computer sker det
ved at man udformer en algoritme,
altså en “opskrift på beregning”,
der løser problemet. I
modsætning til ovenstående tilfælde
er man oftest ikke interesseret
i et konkret problem, men
snarere i at løse problemer af en
bestemt type. Brugeren af et
program kan så specificere det
konkrete problem når det opstår.
Det er her ønskeligt at algoritmen
kan løse selv store og
komplicerede problemer inden
for rimelig tid. At dette ikke altid
er tilfældet kan illustreres
ved følgende “opskrift” på en
D A T A L O G I
To unge englændere vandt en million pund ved at lægge dette puslespil.
lille skål blå chokoladepastiller:
»Tag en pose chokoladepastiller
med blandede farver, ryst den,
og hæld den ønskede mængde i
en skål. Er de alle blå, er skålen
færdig. Ellers hældes indholdet
tilbage i posen og der begyndes
forfra.«
Som man kan forestille sig, er
dette en meget langsommelig
proces, hvis man ønsker mere
end ganske få chokoladepastiller.
Problemet er med andre
ord, at tiden, det tager at
udføre opskriften, vokser voldsomt
med størrelsen af det konkrete
problem (altså skålens
størrelse). I dette tilfælde er det
ikke svært at komme på en
mere effektiv opskrift, men der
findes beregningsproblemer
hvor det er et åbent spørgsmål,
hvorvidt man kan undgå, at
17

18
A k t u e l N a t u r v i d e n s k a b | 3 | 2 0 0 1
D A T A L O G I
Beregningers vækst i tid
Ved en effektiv algoritme forstås
en algoritme hvis udførelsestid
ikke vokser for voldsomt når man
øger "størrelsen" af det problem,
den bliver anvendt på. "Størrelsen"
er længden af en tekst der
beskriver problemet. Det kunne
for eksempel være en liste over
aktiviteter som skal skemalægges
inden for en vis periode,
med angivelse af ting der ikke
må skemalægges samtidig, eller
en beskrivelse af spilleplanen i
Minestryger med angivelse af
hvilke felter som er ryddet, og
hvor mange miner de grænser
op til. Som nævnt ovenfor vokser
tiden for kendte skemaplanlægningsprogrammer
i værste
fald eksponentielt med størrelsen
af problemet.
Eksempler på eksponentiel
vækst er funktioner som 2 n og 3 n .
Hvis tiden højst vokser som f.eks.
n 2 eller n 3 er der tale om en meget
mere fornuftig vækst, som illustreret
i grafen til højre. Vækst af
funktioner som n 2 , n 3 , n 4 , etc. kaldes
polynomiel. Klassen af problemer
som har algoritmer med
polynomiel vækst i tid kaldes P.
Eksempler på beregningsproblemer
i P er sortering og søgning
i en tekst. Erfaringsmæssigt
er de problemer man støder på i P
også i praksis håndterlige, mens
beregningstiden vokser eksplosivt
med problemstørrelsen.
Kryptografi
Kryptografi spiller i dag en stor
rolle på Internettet, f.eks. når
følsomme data som betalingsoplysninger
skal beskyttes. Ikke
desto mindre ved man faktisk
ikke, om de mest udbredte metoder
er sikre! Sikkerheden baseres
på en formodning om, at
gode gæt på hemmelige krypteringsnøgler
ikke kan laves effektivt
på computer, og at det derfor
vil tage tusinder eller millioner
af år at bryde koderne. Selv
om man hidtil ikke har fundet
effektive måder at lave gode gæt
på, har det vist sig svært at be-
10 20
10 15
en billion
en milliard
en million
1000
n n
2 4 8 16 32 64 128 256 512
n
1024
Det største problem der kan løses på en time
Algoritmens tid med nutidens med en der er med en der er
vokser som computere 100 gange 1000 gange
hurtigere hurtigere
n A 100 A 1000 A
n2 B 10 B 31,6B
2n C C + 6,64 C + 9,97
algoritmer der har hurtigere end
polynomiel vækst i tid oftest ikke
er praktiske. Det er derfor almin-
vise, at sådanne metoder ikke
eksisterer.
Mens kryptologerne håber og
tror, at visse beregninger tager
lang tid at udføre på computer,
er der andre der ville ønske, at
det hele var lidt lettere. Det
gælder for eksempel folk, der
beskæftiger sig med skemaplanlægning.
Der kendes ikke
metoder til at lægge de sværeste
skemaer inden for rimelig tid.
Faktisk vokser tiden eksponentielt
med antallet af ting, der
skal skemalægges. En konsekvens
af dette er, at en moderne
PC inden for et givet tidsrum
kun kan lægge skemaer med et
beskedent antal flere elementer
end de første personlige com-
2 n
1,2 n
n 5
n 3
5n
deligt at betragte P som klassen af
problemer der kan håndteres effektivt
på computer.
putere, på trods af at den udfører
sine beregninger 1000 gange
hurtigere. Når hastigheden en
gang i fremtiden igen er steget
med en faktor 1000 vil det kun
give samme lille forbedring.
Der er altså tale om en fundamental
begrænsning i vores
regnekraft, som kun i lille omfang
afhjælpes ved fremkomsten
af hurtigere hardware (se
tabel i boks).
Minestryger
Computerspillet Minestryger
(se boks) er kendt fra operativsystemet
Windows. Hvis du
nogen sinde er blevet svimmel
af at forsøge at lokalisere alle
miner i spillet, kan du trøste
antal mikrosekunder
siden Big Bang
antal mikrosekunder
på et døgn
dig med at det faktisk er nøjagtig
lige så svært som skemaplanlægning!
Det skyldes, at
man har en effektiv metode til
at omforme skemaplanlægningsproblemer
til Minestryger-problemer,
således at
man ved at løse Minestrygerproblemet
kan få svar på det
oprindelige skemaplanlægningsproblem.
Med andre ord: hvis
du kan finde en effektiv metode
til at spille Minestryger optimalt,
vil det medføre at skemaplanlæggernes
trængsler er ovre.
Faktisk vil en lang række vigtige
optimeringsproblemer pludselig
kunne håndteres effektivt –
med enorme besparelser til
følge. På den videnskabelige

front ville matematisk orienteret
forskning formentlig ændres
radikalt, til i høj grad at være
computer-assisteret, da det er
let at bekræfte beviser når de
først er "gættet".
Der er altså tale om et problem
hvor en positiv løsning
ville have revolutionerende
virkning på en række områder.
Omvendt ville den efterlade
store dele af moderne
kryptografi i ruiner, så forhør
dig lige ved din lokale efterretningstjeneste
inden du bringer
nationens sikkerhed i fare!
Gæt og bekræft
Som bekendt er bagklogskab
lettere at besidde end klogskab.
Samme fænomen gør sig gældende
for de beregningsproblemer
vi har set på her.
Med en skemaplan i hånden er
det let at bekræfte, at den overholder
hvad den skal. Og hvis
du fejlagtigt tror, at der ikke
kan være en mine på et bestemt
sted i Minestryger, overbeviser
computeren dig let om det
modsatte ved at vise dig en placering
af miner der bevidner at
du tager fejl. På samme vis er
det let at checke, om en bestemt
serie af fodboldresultater
for resten af sæsonen vil give
AB mesterskabet, men det er
ikke nødvendigvis let at finde
serien af resultater. Et andet eksempel
er problemet at finde en
måde at placere familien rundt
om bordet til familiefesten, således
at dem, der ikke kan
holde hinanden ud, ikke kommer
til at sidde ved siden af
hinanden!
Klassen af beregningsproblemer,
der regnes for praktisk
løsbare, kaldes P (se boks
næste side). En tilsyneladende
større klasse er de beregningsproblemer,
der let kan besvares
hvis man som udgangspunkt er
i besiddelse af et "godt gæt".
Denne klasse, der kaldes NP,
indeholder alle de problemer
som er nævnt ovenfor. Betegnelsen
skyldes, at man forestiller
sig, at man Nondeterministisk,
altså uden system eller metode,
laver det "gode gæt" og
derefter bekræfter det effektivt.
Gættet kaldes for et "certifikat".
Et certifikat skal findes hvis der
er et positivt svar eller en løsning
på problemet. Med et certifikat
som "hjælpeinformation"
skal det være praktisk
løsbart at svare på problemet.
Desuden skal det være praktisk
løsbart at afvise et ugyldigt certifikat.
For de nævnte problemer
er certifikatet simpelthen
en løsning på problemet, hvis
en sådan findes. Der er andre
tilfælde, hvor det ikke er så oplagt,
at der findes et certifikat.
For eksempel findes der for ethvert
primtal et certifikat, der
viser, at det ikke har nogen divisorer.
Er P lig med NP?
Det store uafklarede spørgsmål
er om P=NP, dvs. hvorvidt det
er praktisk løsbart at finde frem
til et certifikat. Mens man ikke
har været i stand til at besvare
“P=NP?” spørgsmålet, er det
lykkedes at identificere en
række af de sværeste beregningsproblemer
i NP. Mere
Svære beregningsproblemer
Minestryger problemet.
Minestryger spilles på et gitter
af felter bag hvilke der gemmer
sig et antal miner. Opgaven er at
"rydde" alle felter, hvor der ikke
er miner. Når man rydder et felt
(og ikke bliver sprængt i luften
af en bagvedliggende mine!) viser
der sig et tal, der angiver
hvor mange miner der findes på
de op til 8 nabofelter. Baseret
på sådanne hints kan man ofte
regne sig frem til nye felter, der
kan ryddes.
Betragt for eksempel de to
felter markeret med pile i figuren.
I begge tilfælde kan man
rydde et nabofelt, da de nødvendigvis
må indeholde miner. For
det øverste felt er det let at se,
da feltet til højre indeholder et
1-tal og ikke har andre nabo-
A k t u e l N a t u r v i d e n s k a b | 3 | 2 0 0 1
D A T A L O G I
Hvordan lægges brikkerne så der er ensfarvede trekanter ved alle
samlinger?
felter der kan indeholde en
mine. For det andet felt skal der
tænkes lidt mere, og man skal
for eksempel indse, at der ikke
kan være en mine lige under 2tallet
længst til højre. Kan du
regne minernes placering ud i
konfigurationen til højre?
Minestryger beregningsproblemet
går ud på at afgøre, om
det er muligt at et bestemt felt i
en given konfiguration af et
spillebræt skjuler en mine. Bemærk
at algoritmen skal kunne
håndtere vilkårligt store spillebrætter.
Fodbold problemet
Givet stillingen i en fodboldliga
og en tabel over de resterende
kampe (hvor en sejr giver 3 point
og uafgjort 1 point), afgør om
det er teoretisk muligt at et bestemt
hold bliver mestre. Det tilsvarende
problem for håndbold
er i P. Dette skyldes, at antallet
af point der spilles om i en håndboldkamp
altid er 2, mens der i
fodbold kan deles såvel 2 som 3
point ud.
Planlægningsproblemer
Nogle af de vigtigste problemer i
NP går ud på at lægge optimale
planer. Det kunne for eksempel
være at finde den korteste rejserute
til en række byer for en handelsrejsende,
at lave flyrute planer
der minimerer omkostninger
til løn etc., eller at fylde flest muligt
poser med æbler så alle poser
indeholder mindst 1000
gram. Ikke alle planlægningsproblemer
er svære, selv om antallet
af muligheder for planer
kan være enormt. En vigtig klasse
er i P, og kan løses effektivt
ved en teknik der kaldes lineær
programmering. Det gælder for
eksempel hvis man skal planlægge
hvilke klasser og fag som
lærere på en skole skal have, ud
fra oplysninger om hvilke klassetrin
og fag de enkelte lærere har
specialiseret sig i.
19

20
A k t u e l N a t u r v i d e n s k a b | 3 | 2 0 0 1
D A T A L O G I
Certifikatet stemmer!
Hvis man får vist et "certifikat" for en mulig konfiguration i minestryger, kan man udelukke minernes positioner
som sikre felter at rydde. Har man ingen sådan hjælp kendes ingen metode, der er meget bedre end
simpelthen at afprøve alle muligheder for hvor minerne kan være.
præcist gælder det, at hvis et af
disse problemer er i P, så er alle
problemer i NP også i P. Omvendt,
hvis man for et af disse
problemer kan vise at det ikke
er i P, gælder det dem alle. De
ovennævnte eksempler, bortset
fra primtalsgenkendelse, falder
alle i denne gruppe, dvs. de har
samme sværhedsgrad som en
række notorisk svære
beregningsproblemer, der har
modstået 30 års forsøg på at
finde effektive algoritmer. På
den anden side er der eksempler
på beregningsproblemer,
hvor man først efter årtiers ar-
bejde er kommet frem til at de
tilhører P. Den interesserede læser
opfordres til at forsøge sig
med et af de nævnte problemer!
Hvem vil være millionær?
Clay Mathematics Institute
har, som omtalt i Aktuel Naturvidenskab
3, 2000, for nylig
udlovet en dusør på en
million dollars til den der besvarer
'P=NP?' spørgsmålet.
De fleste eksperter tror at
spørgsmålet skal besvares negativt.
Et sådant bevis for at P
er forskellig fra NP, altså for
at f.eks. Minestryger proble-
met ikke er effektivt løsbart,
synes vanskeligt fordi man
skal tage højde for alle mulige
algoritmer og vise, at de hver
især nødvendigvis må have
udførelsestid, der vokser voldsomt
med problemstørrelsen.
Vanskeligheden illustreres ved,
at man trods stor indsats end
ikke har bevis for at noget
beregningsproblem i NP tager
tid, der vokser hurtigere end lineært
med problemstørrelsen.
Meget tyder på, at der skal en
helt ny angrebsvinkel til for at
besvare datalogiens million dollar
spørgsmål.
Om forfatteren
Rasmus Pagh er
ph.d.-studerende ved
Datalogisk Institut
Aarhus Universitet
Email: pagh@daimi.au.dk
Forfatteren er pt. tilknyttet
Aktuel Naturvidenskab
Ny Munkegade, Bygn. 520
8000 Århus C
Tlf.: 8942 5555
Supplerende læsning
Clay Mathematics Institute,
http://www.claymath.org/
D. Harel, Algorithmics: The
Spirit of Computing, 2nd edition,
Addison-Wesley 1992.
C. Papadimitriou,
Computational Complexity,
Addison-Wesley 1994.
I. Stewart, Million-Dollar
Minesweeper, Scientific
American, oktober 2000.