Skvulp i matematikken - Viden (JP)

Skvulp i matematikken
- om en moderne matematisk teori kaldet wavelets
Matematik
Der var ikke nogen, der
tog det alvorligt, da
geofysikeren Morlet
sidst i 70’erne foreslog
en helt ny måde til at
analysere seismiske
måledata på: “Hvis metoden
virker, ville den stå
i bøgerne. Da den ikke
gør det, så virker den
sikkert ikke!”, sagde
man.
Metoden, der i dag kaldes
wavelets, anvendes
nu af mange tusinde
mennesker til talrige og
meget forskellige formål.
Af Anders la Cour-Harbo
Hvis man gerne vil finde
detaljer i et billede, kan
man gøre følgende:
Man tager en kopi af billedet
og gør den uskarp. Så „trækker“
man de to billeder fra hinanden
ved subtraktion. Resultatet er
en nyt billede, der viser detaljerne
i det oprindelige billede.
Hvis der på billedet er et
område uden detaljer, som for
eksempel noget himmel, så
betyder det ingenting om billedet
er en smule uskarpt. Men
hvis der på billedet er detaljer
som vinduesrammer og rækværk,
så er der stor forskel på,
om billedet er skarpt eller
uskarpt.
Når det skarpe billede så
trækkes fra det uskarpe, vil områder
uden detaljer forsvinde,
da de er (næsten) ens, mens
detaljerne bliver tilbage på
grund af forskellen mellem de
to billeder. Jo mere uskarpt det,
ene billede bliver, desto grovere
detaljer bliver tilbage efter subtraktionen.
Ved at gentage processen
på det uskarpe billede,
altså gøre det endnu mere
uskarpt, kan et billede „skilles
ad“ i mange lag, der hver især
indeholder en bestemt størrelse
detaljer.
Processen kaldes en multiskala-analyse
(MSA), idet hvert
af de stadigt mere uskarpe billeder
kan betragtes som det oprindelige
billeder set på forskellige
skalaer. Det helt skarpe på
en fin skala, og det meget
uskarpe på en meget grov skala.
Teknikken er meget alsidig; den
virker ikke kun på billeder, men
også på mange andre typer signaler,
som f.eks. lyd og video,
medicinske og industrielle
måledata, alt fra seismiske målinger
til variationer i aktiekurser.
Ved at skille signaler ad er
det muligt at komprimere dem,
støjrense dem, rekonstruere
Aktuel Naturvidenskab 2/1999 15
tabte data, finde bestemte mønstre
og meget andet.
Når MSA’en sættes i system
med en række matematiske
betingelser, fremkommer der
naturligt små, bølgelignende
funktioner; wavelets.
Første skvulp i 1910
Wavelet-teorien er både meget
gammel og meget ny. Den første
wavelet blev konstrueret i
1910 af den ungarske matematiker
Alfred Haar. Hans konstruktion
var både smuk og
Ved at gøre et billede
uskarpt og subtrahere
det skarpe billede
bliver kun detaljerne
tilbage.
simpel: En firkant-funktion.
De efterfølgende wavelets er
måske nok smukke, men bestemt
ikke simple. Morlets gode
ide sidst i 70’erne gav da heller
ikke umiddelbart anledning til
nye wavelets. Først måtte den
igennem en udvikling, der var
en blanding af intens matematisk
aktivitet og tilfældigheder.
En af de i dag mest aktive inden
for området fattede i sin tid
interesse for wavelets efter at
have overhørt en diskussion i
køen ved en kopimaskine! Et af

højdepunkterne i udviklingen
var fremkomsten af MSA’en i
1986. Med den lykkedes det
Ingrid Daubechies at konstruere
wavelet nummer 2, der nu
kendes som en Daubechieswavelet.
Siden er det blevet til
mange forskellige wavelets.
Et interessant og kendetegnende
træk ved wavelet-teorien
er, at den kan opfattes som et
træ. Stammen udgøres af
MSA’en, der en grundpillen i
det, der nu kendes som den
klassiske wavelet-teori. Træets
rødder er mange forskellige
områder inden for matematik
og ingeniørvidenskab, områder
som tidligere blev anset for helt
forskellige, men som nu har vist
sig at være wavelet-teori i forskellige
forklædninger. Træets
krone er de mange nye anvendelser,
som MSA’en har givet
anledning til.
Nyttig alsidighed
Når en wavelet skal anvendes til
signal-analyse sker det via en
wavelet-transform (se tekstboks).
En transform er et matematisk
udtryk, der betyder at
lave et signal om til et andet
signal. Det gør man normalt i
håbet om at kunne fremhæve
nogle egenskaber ved signalet.
Der findes mange forskellige
transformer, der hver især kan
fremhæve ganske bestemte
egenskaber.
Wavelet-transformen adskil-
(1)
(4)
(2)
(3)
Frekvens (kHz)
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Tid (s)
Sådan er fordelingen af energi i tid og frekvens (blå lidt og rød meget), når
Kennedy siger „Ich bin ein berliner“.
ler sig fra de andre ved at
kunne fremhæve forskellige
egenskaber, afhængigt at hvordan
transformen bruges. Der
ud over er den hurtig, den er
dejlig ukompliceret at udføre,
og, i modsætning til den meget
brugte Fourier-transform, giver
den ikke komplekse tal.
Transformen kan også vendes
om, således at det signal,
der fremkommer ved wavelettransformation
kan „transformeres
tilbage“ til de oprindelige
signal uden tab. Det er
vigtigt, hvis transformen bruges
til f.eks. komprimering, da det
sikrer, at det er muligt at
afkomprimere det komprimerede
signal.
Ved at udvide wavelet-transformen
til den såkaldte waveletpakke-transform
er det muligt
at frembringe ikke bare ét andet
signal, men mange, endda rig-
Et lydsignal på 1/10 sekund (1) wavelet-transformeres (2), støjdelen sættes til
nul (3), hvorefter en omvendt wavelet-transform givet det rensede signal (4).
3
2
1
tig mange forskellige signaler,
der alle kan transformeres tilbage
til det oprindelige signal.
Ud af de mange signaler kan
man så vælge det, der passer
bedst til et givet formål, hvad
enten det måtte være mønstergenkendelse,
støjrensning, tidsfrekvens-analyse,
eller noget
helt fjerde.
Hvis for eksempel formålet
er at støjrense et signal, så kan
man vælge det af de mange
signaler, hvor signalet og støjen
er skilt mest muligt ad, og så
smide støjdelen væk. Ved komprimering
kan man vælge det
mest ensartede af de mange
signaler, og så bruge en
komprimeringsalgoritme på
det.
I langt de fleste tilfælde er
wavelets i sig selv nemlig ikke
løsningen på problemet, men
blot et hjælpemiddel, der kan
lave et signal, der ikke rigtig
egner sig, om til et signal, der
bedre egner sig.
Støjrensning
En gammel indspilning på
78’er-grammofonplade er ofte
fyldt med støj i form af både
raslen og skratten på grund af
slid og ridser. Sådan en støj er
kendetegnet ved hurtige ændringer
i tid, og da den indspillede
musik ofte er forholdsvis
langsom i forhold hertil, så kan
musikken på en plade opfattes
som det skarpe billede. Ved at
gøre musikken „uskarp“, det vil
sige glatte lydsignalet lidt ud,
og trække det oprindelige signal
fra, så isoleres meget af støjen. I
praksis foregår det ved at signaletwavelet-pakke-transformeres,
hvorefter det transformerede
signal, der har den bed-
(1) Den første wavelet fra 1910,
(2) den anden wavelet fra 1986,
(3) og (4) to eksempler på de
adskillige wavelets, der er
kommet til siden.
ste opdeling i musik (svarende
til det uskarpe billede) og støj
(svarende til detaljerne) tages
fra. Heri erstattes støjen med
nuller, og dette nye signal
„transformeres tilbage“, hvorefter
man har en lydsignal uden
støj (svarende til et skarpt billede
uden detaljer).
Energi i tid og frekvens
En stor disciplin inden for
signalbehandling er tids-frekvens-analyse,
som beskæftiger
sig med at undersøge energiindholdet
i et signal med hensyn
til både tid og frekvens.
Traditionelt har Fourier-transformen
på dette område været
altdominerende. Det er den
stadig, omend flere andre transformer
trænger sig på. Også her
kan wavelet-transformen være
med: Det signal, der kommer
ud af en wavelet-transform, har
16 Aktuel Naturvidenskab 2/1999
(1)
(2)
(3)
(4)

Når en wavelet skal bruges til signalanalyse
gøres det via wavelet-tansformen.
Det er nødvendigt, da en
wavelet i sig selv blot er en funktion
(ligesom sin(x) og x 2 også er funktioner),
og transformen er en beskrivelse
af, hvordan wavelet-funktionen
skal kombineres med signalet.
Fra den ene ende af signalet tages
et stykke, der har samme længde
som waveletten. De to ganges sammen
til en ny funktion, som så integreres,
dvs. arealet under den nye
funktion bestemmes. Denne operation
giver et enkelt tal. Så tages et nyt
stykke signal lidt til højre for hvor det
første begyndte. Også dette stykke
ganges med waveletten, og der inte-
nemlig den egenskab, at det
umiddelbart kan opdeles i to
signaler, der indeholder henholdsvis
de lave og de høje frekvenser
i det oprindelige signal.
Ved at lave flere på hinanden
følgende transformer kan et
signal opsplittes i mange frekvenser.
Resultatet bliver et
såkaldt tids-frekvens-plan, der
viser et signals energi-indhold i
både tid og frekvens. Denne
metode er meget anvendt til
bl.a. lyd- og radar-signaler.
Wavelet-transformen
Mirakel-middel?
Selvom wavelets samler en
række gode egenskaber i en
enkelt metode, så vil der trods
alt altid være områder, hvor
wavelets ikke er den bedste
løsning. Der er der ikke noget
mærkeligt i, men det bør fremhæves,
fordi wavelets sommetider
bliver præsenteret som et
mirakel-middel, der kan klare
alle problemer. Dertil kommer,
at wavelets i sig selv ikke løser
mange problemer, da de stort
Aktuel Naturvidenskab 2/1999 17
greres. Det giver endnu et tal. Sådan
bliver man ved hen over signalet, og
resultatet er en række tal, der netop
er wavelet-transformen af det oprindelige
signal. For eksempel kunne
billedet af huset være det oprindelige
signal. Den række af tal, der fremkommer
ved wavelet-transformen, vil
da være billedet, der kun indeholder
detaljerne. I praksis er det altså ikke
nødvendigt at lave et uskarpt billede
først.
Vil man have grovere detaljer, så
gøres waveletten blot lidt længere inden
den ganges på signalet. Det
kommer der færre tal ud af, svarende
til at et billede ikke kan indeholde så
mange store som små detaljer.
set altid skal kombineres med
andre metoder.
I de kommende år vil
wavelets blive mere almindelige,
både i industrien og i undervisningen
på universiteterne.
Det vil ske i takt med at teorien
udvikles yderligere, for der er
stadig en række spørgsmål, som
skal besvares. Først når det sker,
vil wavelet-teorien blive lige så
udbredt som de metoder og
teknikker, matematikere og
ingeniører i dag anvender.
Om forfatteren
Anders la Cour-Harbo
er ph.d.-studerende ved
Institut for elektroniske Systemer,
Afdelingen for proceskontrol
Aalborg Universitet
Fredrik Bajers Vej 7 C
9220 Aalborg Ø
Tlf.: 9635 8737
E-post: alc@control.auc.dk
www.control.auc.dk/~alc
Her kan du læse videre:
www.amara.com/current/
wavelet.html
www.gvsu.edu/mathstat/
wavelets.htm
www.public.iastate.edu/~rpolikar/
WAVELETS/WTtutorial.html
Aktuel Naturvidenskab henvender sig til alle, som beskæftiger sig med – eller
interesserer sig for – naturvidenskab. Tegn et abonnement og støt udviklingen
af bladet. Du kan også bestille via hjemmesiden: www.aktuelnat.au.dk
Ja tak – jeg vil gerne tegne abonnement på
det nye tidsskrift: Aktuel Naturvidenskab
Pris kun 200,- kr. for seks numre.
Studerende får 50% i introduktionsrabat!
Navn: __________________________________
Firma: _________________________________
Adresse: _______________________________
Postnr. og by: ___________________________
Evt. tlf. nr. / e-post: __________________________
Jeg er studerende og ønsker introduktionsrabat:
Jeg ønsker at starte mit abonnement med blad nr.:
2-1999: 3-1999: 4-1999:
Indsendes til Aktuel Naturvidenskab i 1999
Aktuel Naturvidenskab
Ny Munkegade, bygn. 520
+++ 2987 + + +
8000 Århus C