Galilei-instrumentet - Horsens HF og VUC

Galilei-instrumentet
Galilei (1564-1642) var en central skikkelse i forbindelse med den eksperimentelle metodes
indførelse i naturvidenskaben. Galilei var meget praktisk i sin måde at arbejde på, han var
ikke den der studerede matematik for matematikkens egen skyld. Vi vil nu se på et praktisk
anvendeligt matematisk redskab, som han lod en instrumentmager fremstille (se figur 1).
Det er ikke, heller ikke set med datidens øjne, en avanceret matematik der er anvendt, men
det er en dygtig matematiker, der bruger sin praktiske sans.
Galilei forbedrede og kombinerede nogle apparater der var anvendt tidligere. De kunne
blandt andet bruges til at lave udregninger med. Det apparat han opfandt og markedsførte
kaldte han noget der kan oversættes til ”Den geometriske og militære passer”.
Galilei lavede kurser i brugen af apparatet. Galilei skrev også en brugsanvisning, den viser
at han var en dygtig pædagog. Vi vil nu se lidt på apparatet og på brugsanvisningen. (Brugsanvisningen
er trykt på siderne 335-424 i bind 2 af Galileis samlede værker, der hedder
Opere og er trykt i Firenze (1890-1909) i i alt 20 bind)
Galilei kaldt i brugsanvisningen apparatet for instrumentet, i teksten nedenfor anvendes
den samme sprogbrug. Instrumentet består af to metalplader, der kan dreje om et hængsel
(der er også noget ekstra tilbehør som vi springer over her).
Der er indgraveret linjestykker med skalaer på begge sider af instrumentet. Der er 4 sæt
linjestykker på den ene side og 3 sæt linjestykker på den anden side af instrumentet. Alle
instrumentets linjestykker har retning gennem instrumentets omdrejningsakse.
For at overføre længder til og fra instrumentet anvendte Galilei en målepasser (altså en
passer hvor afstanden mellem spidserne kan indstilles hvorefter passeren kan flyttes til et
nyt sted og den målte afstand afsættes). I det følgende kaldes målepasseren bare passeren.
Galilei gennemgik i brugsanvisningen 32 forskellige anvendelser af instrumentet. Hver anvendelse
kaldte han (på italiensk) en operation.
Teksten nedenfor er en fri gengivelse af et uddrag af brugsanvisningen til nogle af anvendelserne
af instrumentet.
© Forlaget TRIP og Hans Sloth 2005. Må frit anvendes i undervisningen.
1

Figur 1.
2

Figur 2.
3

I. De aritmetiske linjer
Vi begynder med at se på den side af instrumentet, hvor der er fire par linjestykker, og her
vil vi først se på det inderste par. De kaldes aritmetiske linjer på grund af at inddelingen er
en aritmetisk progression, det vil sige at tallene vokser med lige lange afstande; og det
bliver ved indtil tallet 250.
50 100
150 200 250
50 100
150 200 250
Figur 3. Princippet i de aritmetiske linjer
Anvendelse I. Deling af et linjestykke
Ved hjælp af de aritmetiske linjer kan vi dele et givet linjestykke i lige så mange lige dele
som vi ønsker, idet vi bruger en af de måder der anvises nedenfor.
Hvis linjestykket er af mellemstørrelse, så det ikke overstiger hvad instrumentet kan gabe
over gør vi følgende.
Hvis vi for eksempel ønsker at dele det givne linjestykke i fem lige lange stykker tager vi to
tal, hvoraf det ene er fem gange det andet. Vi kan tage 100 og 20, og så åbner vi instrumentet
præcis så meget at linjestykkets længde (som vi har i passeren) passer tværs over fra 100 på
det ene ben af instrumentet til 100 på det andet ben. Så vil afstanden mellem det sted der er
markeret 20 på det ene ben af instrumentet til 20 på det andet ben netop være en femtedel af
det givne linjestykke. På tilsvarende måde kan vi lave enhver anden division, idet vi bemærker
at vi bør tage store tal (men ikke over 250), for så bliver det nemmere og mere præcist.
4

Figur 4.
Vi kan lave den samme anvendelse på en anden måde. Hvis vi vil dele et linjestykke AB i 11
dele, skal vi tage to tal, hvor det ene er elleve gange det andet, for eksempel 110 og 10. Vi
åbner så instrumentet så afstanden mellem 110 og 110 er længden af AB. Vi kan så ikke
finde afstanden mellem 10 og 10 på instrumentet, for hængslet er for stort. I stedet tager vi
afstanden mellem 100 og 100 i passeren og afsætter det stykke på linjestykket AB ud fra B,
til et punkt C. Det resterende af linjestykket AB, altså stykket AC er da en elvtedel af linjestykket
AB. Så sætter vi det ene ben af passeren i A og markerer et punkt E nær den anden
ende, så bliver EB lige så lang som AC. Derefter tager vi med passeren afstanden mellem
punkterne ved 90 og 90, og afsætter også denne afstand ud fra linjestykkets to ender til to
nye punkter D og F. Derefter afsættes tilsvarende afstanden 80-80 og 70-70 osv. På denne
måde kan vi få delt linjestykket AB i elleve lige lange stykker.
Hvis det linjestykke vi skal dele er meget kort, og det skal deles i mange dele kan vi bruge
en fremgangsmåde der minder om den ovenfor. Linjestykket der skal deles er AB, og det
skal deles i 13 lige lange stykker. Så forlænger vi AB ud over B og afsætter længden af AB
et antal gange ud over B til et punkt C. Vi vælger at afsætte 6 gange AB, så AC er 7 gange så
langt som AB. Det vil sige at AC må indeholde det søgte linjestykke 91 gange. Vi tager
derfor længden af AC og afsætter det mellem punkterne 91 og 91 på instrumentet. Så afsætter
vi afstanden mellem 90 og 90 på instrumentet på vores linje ud fra C mod A. Da er
afstanden fra det afsatte punkt til A lig med den søgte afstand. For at finde de øvrige delepunkter
af linjestykket AB tager vi afstandene mellem 89, 88, 87 osv. markeringerne og
afsætter ud fra C.
Endelig, hvis det linjestykke der skal deles er meget langt, så det går ud over hvad instrumentet
kan åbnes til kan vi alligevel få det delt i for eksempel syv dele. Først tager vi to tal,
hvor det ene er 7 gange det andet, for eksempel 20 og 140. Så åbner vi instrumentet en
vilkårlig åbning og måler afstanden mellem punkterne ved 140 og 140 på de to ben. Så ser
vi hvor mange gange den afstand kan rummes i det givne linjestykke. Så tager vi afstanden
mellem 20 og 20 på instrumentet det antal gange, så har vi fundet den søgte syvendedel,
hvis afstanden kunne rummes et helt antal gange. Hvis det ikke er et helt antal tager vi det
lille stykke der er tilovers og deler med syv og lægger det til. Så får vi nøjagtig en syvendedel
af vores oprindelige linjestykke.
Anvendelse II. At direkte finde en vilkårlig brøkdel af
et linjestykke
Når vi skal finde en brøkdel af et linjestykke for eksempel 113 dele ud af 197, tager man det
givne linjestykke og åbner instrumentet så det passer mellem 197 og 197 på de to ben, da er
afstanden mellem punkterne ved 113 den søgte brøkdel af det givne linjestykke.
5

Anvendelse III. At ændre skalaen på et kort eller en
tegning
Som eksempel skal vi lave en figur der er ligedannet med
femkanten ABCDE.
I den nye figur skal FG svare til AB. Vi ser at i dette tilfælde
skal figuren formindskes. Vi tager da med en passer afstanden
AB og den afsætter vi ud ad skalaen på instrumentet fra
punktet som de to ben drejer om (det punkt kaldes i det følgende
omdrejningspunktet). Lad os antage at den afsatte
længde ender ved punktet 60 på skalaen. Derefter tager vi
afstanden FG i passeren og så indstiller vi instrumentet så
FG netop passer mellem de to steder på benene af instrumentet
hvor 60 er afsat. Derefter ændres der ikke ved åbningen
af instrumentet.
Hvis vi derefter skal finde længden af GH, der svarer til længden af BC tager vi længden
BC i passeren og afsætter den på instrumentet ud fra omdrejningspunktet. Vi antager at den
afsatte længde så ender ved punktet 66 på skalaen. Da er længden af GH afstanden 66-66 på
instrumentet.
Bemærk, at hvis du skal forstørre figuren kan det være nødvendigt at bruge instrumentet
omvendt. Lad os straks se på et eksempel.
Vi skal forstørre figuren ABCDEF til den noget større figur, hvor forstørrelsen bestemmes
af at AB skal svare til længden GH i den nye figur. Vi indstiller da instrumentet ved at vi
tager længden af GH og afsætter ud fra omdrejningspunktet.
Lad os antage at den ender ved tallet 60 på
instrumentets skala. Vi tager da afstanden AB og indstiller
instrumentet så AB bliver afstanden 60-60 på instrumentet.
For derefter at finde afstanden HI tager vi
afstanden BC i passeren og finder det sted hvor afstanden
mellem skalaerne på instrumentet passer med BC.
Lad os antage, at det er ved 46-46. Da er HI afstanden
fra 46 på skalaen til omdrejningspunktet af instrumen-
tet. Bemærk, at i dette tilfælde, som i det forrige, er det
ikke nok at have fundet længden HI men vi må også
finde ud af i hvilken retning den skal pege, så vinklen
Figur 5.
Figur 6.
ved H bliver lig med vinklen ved B. Derfor tegner vi med centrum i H og HI som radius en
lille cirkelbue som vist som den stiplede bue OIN på figuren. Dernæst tager vi afstanden AC
og forstørrer den så vi får afstanden GI og tegner derefter cirkelbuen RIQ der har G som
centrum og længden af GI som radius. Skæringspunktet mellem buerne OIN og RIQ er da
det punkt I mod hvilket linjen HI skal rettes. Så er vinkel H lig med vinkel B og HI er
proportional med BC. På samme måde kan man finde de andre punkter K, L og M, svarende
til vinkelspidserne D, E og F.
6

Anvendelse IV. At finde fjerdeproportionalen
De linjer vi arbejder med bruges ikke kun til løsning af forskellige lineære problemer, men
også til at løse aritmetiske problemer. Vi vil se på hvordan man når man kender tre tal kan
bestemme fjerdeproportionalen.
Vi ser på et eksempel:
Hvis 80 giver os 120, hvad vil 100 så give os? Her har vi tre tal i givet i denne rækkefølge
80 120 og 100. For at finde det søgte fjerde tal indstiller vi passeren på langs af instrumentet
til det andet af de givne tal, det er 120, så åbner vi instrumentet så afstanden på tværs af
instrumentet mellem markeringerne for det første af tallene, altså afstanden 80-80, er 120.
Så tager vi det tredje tal, som er 100, og tager afstanden mellem instrumentets markeringer
for 100-100 og bruger passeren til at måle længden af den afstand ved at afsætte den på
langs på skalaen. Det du finder, det er 150, er det søgte fjerde tal.
Nu kommer der lige en sætning fra Galilei der vil noget:
Bemærk, at det samme vil ske, hvis du i stedet for det andet tal tager det tredje og i stedet for
det tredje tager det andet;
det vil sige at du får samme ud fra det andet tal taget på langs og tilpasset på tværs med det
første og så tager det tredje på tværs og måler det på langs
som hvis du tager det det tredje på langs og tilpasser det på tværs med det første på langs og
derefter tager det andet på tværs og måler det på langs, for i begge tilfælde får vi 150. Det er
nyttigt at bemærke dette, for under forskellige omstændigheder er en ene metode mest anvendelig.
I nogle tilfælde kan vi få problemer med denne metode, hvis vi ikke ved hvordan vi skal gå
frem. For det første kan det ske at hverken det andet eller det tredje tal kan tilpasses på tværs
med det første, som når vi spørger: „25 giver mig 60, hvad vil 75 give?“. Her er både 60 og
75 mere end dobbelt så stort som det første tal, der er 25, så ingen af tallene kan bruges på
tværs, sammen med tallene 25 på instrumentets ben. Derfor, for at gøre det vi vil må vi tage
det dobbelte (eller tredobbelte eller firdobbelte osv.) af det første tal sammen med de andre.
Når vi så ved metoden ovenfor har fundet et resultatet tager vi blot det dobbelte (eller
tredobbelte eller firdobbelte osv.) af det vi har fundet. I eksemplet ovenfor med tallene 25
60 75, så tager vi i stedet tallene 50 60 75, og så finder vi resultatet 90. Da er det dobbelte
heraf, altså 180, den søgte fjerdeproportional til tallene 25 60 75.
Ud over det kan der ske det, at det første af tallene er så stort at det går ud over skalaen på
instrumentet, som når vi siger „280 giver mig 130; hvad vil 195 give mig?“. I det tilfælde
tager vi fjerdeproportionalen til tallene 140 130 97½.
Fjerdeproportionalen til de tal er så det søgte tal.
Det er godt at kende den metode som skal bruges når det andet eller tredje tal af de givne er
meget stort og de andre er middelstore, som når vi siger „Hvis 60 giver mig 390, hvad vil 45
give mig?“. Jeg kan tage en hvilken som helst del af 390. For eksempel kan jeg tage 100 og
finde fjerdeproportionalen til 60 45 100, det er 75. Da 390 er 90 taget en gang og 100 taget
3 gange tager jeg desuden fjerdeproportionalen til 60 45 90, det er 67½. Jeg tager derfor 75
tre gange lægger 67½ til det giver summen 292½, der er den søgte fjerdeproportional.
Endelig kan vi også vise hvordan den samme metode kan bruges for meget små tal, selv om
der på instrumentet kun kan markeres tal der er mindst 15. I dette tilfælde skal vi bruge
7

tiendedele som om de var enheden. Når vi siger „Hvis 10 giver 7, hvad vi så 13 give?“. Vi
tager da 70 (det vil sige 7 tiere) og tilsvarende for de andre tal. Vi finder da fjerdeproportionalen
til 70 100 130 og det finder vi til 91. Det betyder at fjerdeproportionalen til
10 7 13 er 91 tiendedele, altså 9 1/10.
Ud fra alle disse instruktioner kan du nemt finde løsningen i ethvert tilfælde uanset hvilke
problemer der opstår.
Anvendelse V. Det omvendte til at finde fjerdeproportionalen
Vi ser et eksempel: Hvis der er mad til 60 dage når man har 100 soldater, hvor mange
soldater har man så mad til i 75 dage? Vi stiller igen tallene op i rækkefølge: 60 100 75.
Vi indstiller passeren på det første tal, her 60, og så åbner vi instrumentet så det bliver
afstanden 75-75 (hvor 75 er det tredje tal). Derefter måler vi afstanden 100-100 (hvor 100 er
det andet tal) ved hjælp af passeren. Det giver 80, der er det søgte tal.
Bemærk her, at vi finder et samme ved at indstille passeren på det andet tal, 100, og så åbne
instrumentet så det bliver afstanden 75-75 (det tredje tal), og derefter måle afstanden 60-60
(det første tal).
II. De geometriske linjer
De linjer der ligger nærmest de aritmetiske linjer som vi brugte ovenfor kaldes de geometriske
linjer. De er inddelt i geometrisk proportion op til 50. De kan bruges til mange forskellige
ting.
Figur 7.
8

Anvendelse VIII. At ændre arealet af figurer i et vilkårligt
forhold
For det første vil vi bruge de geometriske linjer til at finde siden en plan figur der har et
givet forhold til en anden ligedannet figur. Lad er for eksempel være givet en trekant ABC,
og vi ønsker at finde en anden trekant der har arealforholdet 3:2 til den givne. Vælg to tal
der har det givne forhold, lad det være 12 og 8. Så tager vi linjestykket BC i passeren og
åbner instrumentet, så den afstand passer mellem punkterne 8-8 på de geometriske linjer;
tag derefter, uden at ændre instrumentet afstanden mellem punkterne 12-12 i passeren. Hvis
vi nu bruger den side som længden af siden i en (ligedannet) trekant, svarende til linjen BC,
vil arealet af den trekant netop være tre halvdele af arealet af trekant ABC.
B
A
C
9