Galilei-instrumentet - Horsens HF og VUC
Galilei-instrumentet - Horsens HF og VUC
Galilei-instrumentet - Horsens HF og VUC
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Galilei</strong>-<strong>instrumentet</strong><br />
<strong>Galilei</strong> (1564-1642) var en central skikkelse i forbindelse med den eksperimentelle metodes<br />
indførelse i naturvidenskaben. <strong>Galilei</strong> var meget praktisk i sin måde at arbejde på, han var<br />
ikke den der studerede matematik for matematikkens egen skyld. Vi vil nu se på et praktisk<br />
anvendeligt matematisk redskab, som han lod en instrumentmager fremstille (se figur 1).<br />
Det er ikke, heller ikke set med datidens øjne, en avanceret matematik der er anvendt, men<br />
det er en dygtig matematiker, der bruger sin praktiske sans.<br />
<strong>Galilei</strong> forbedrede <strong>og</strong> kombinerede n<strong>og</strong>le apparater der var anvendt tidligere. De kunne<br />
blandt andet bruges til at lave udregninger med. Det apparat han opfandt <strong>og</strong> markedsførte<br />
kaldte han n<strong>og</strong>et der kan oversættes til ”Den geometriske <strong>og</strong> militære passer”.<br />
<strong>Galilei</strong> lavede kurser i brugen af apparatet. <strong>Galilei</strong> skrev <strong>og</strong>så en brugsanvisning, den viser<br />
at han var en dygtig pædag<strong>og</strong>. Vi vil nu se lidt på apparatet <strong>og</strong> på brugsanvisningen. (Brugsanvisningen<br />
er trykt på siderne 335-424 i bind 2 af <strong>Galilei</strong>s samlede værker, der hedder<br />
Opere <strong>og</strong> er trykt i Firenze (1890-1909) i i alt 20 bind)<br />
<strong>Galilei</strong> kaldt i brugsanvisningen apparatet for <strong>instrumentet</strong>, i teksten nedenfor anvendes<br />
den samme spr<strong>og</strong>brug. Instrumentet består af to metalplader, der kan dreje om et hængsel<br />
(der er <strong>og</strong>så n<strong>og</strong>et ekstra tilbehør som vi springer over her).<br />
Der er indgraveret linjestykker med skalaer på begge sider af <strong>instrumentet</strong>. Der er 4 sæt<br />
linjestykker på den ene side <strong>og</strong> 3 sæt linjestykker på den anden side af <strong>instrumentet</strong>. Alle<br />
<strong>instrumentet</strong>s linjestykker har retning gennem <strong>instrumentet</strong>s omdrejningsakse.<br />
For at overføre længder til <strong>og</strong> fra <strong>instrumentet</strong> anvendte <strong>Galilei</strong> en målepasser (altså en<br />
passer hvor afstanden mellem spidserne kan indstilles hvorefter passeren kan flyttes til et<br />
nyt sted <strong>og</strong> den målte afstand afsættes). I det følgende kaldes målepasseren bare passeren.<br />
<strong>Galilei</strong> gennemgik i brugsanvisningen 32 forskellige anvendelser af <strong>instrumentet</strong>. Hver anvendelse<br />
kaldte han (på italiensk) en operation.<br />
Teksten nedenfor er en fri gengivelse af et uddrag af brugsanvisningen til n<strong>og</strong>le af anvendelserne<br />
af <strong>instrumentet</strong>.<br />
© Forlaget TRIP <strong>og</strong> Hans Sloth 2005. Må frit anvendes i undervisningen.<br />
1
Figur 1.<br />
2
Figur 2.<br />
3
I. De aritmetiske linjer<br />
Vi begynder med at se på den side af <strong>instrumentet</strong>, hvor der er fire par linjestykker, <strong>og</strong> her<br />
vil vi først se på det inderste par. De kaldes aritmetiske linjer på grund af at inddelingen er<br />
en aritmetisk pr<strong>og</strong>ression, det vil sige at tallene vokser med lige lange afstande; <strong>og</strong> det<br />
bliver ved indtil tallet 250.<br />
50 100<br />
150 200 250<br />
50 100<br />
150 200 250<br />
Figur 3. Princippet i de aritmetiske linjer<br />
Anvendelse I. Deling af et linjestykke<br />
Ved hjælp af de aritmetiske linjer kan vi dele et givet linjestykke i lige så mange lige dele<br />
som vi ønsker, idet vi bruger en af de måder der anvises nedenfor.<br />
Hvis linjestykket er af mellemstørrelse, så det ikke overstiger hvad <strong>instrumentet</strong> kan gabe<br />
over gør vi følgende.<br />
Hvis vi for eksempel ønsker at dele det givne linjestykke i fem lige lange stykker tager vi to<br />
tal, hvoraf det ene er fem gange det andet. Vi kan tage 100 <strong>og</strong> 20, <strong>og</strong> så åbner vi <strong>instrumentet</strong><br />
præcis så meget at linjestykkets længde (som vi har i passeren) passer tværs over fra 100 på<br />
det ene ben af <strong>instrumentet</strong> til 100 på det andet ben. Så vil afstanden mellem det sted der er<br />
markeret 20 på det ene ben af <strong>instrumentet</strong> til 20 på det andet ben netop være en femtedel af<br />
det givne linjestykke. På tilsvarende måde kan vi lave enhver anden division, idet vi bemærker<br />
at vi bør tage store tal (men ikke over 250), for så bliver det nemmere <strong>og</strong> mere præcist.<br />
4
Figur 4.<br />
Vi kan lave den samme anvendelse på en anden måde. Hvis vi vil dele et linjestykke AB i 11<br />
dele, skal vi tage to tal, hvor det ene er elleve gange det andet, for eksempel 110 <strong>og</strong> 10. Vi<br />
åbner så <strong>instrumentet</strong> så afstanden mellem 110 <strong>og</strong> 110 er længden af AB. Vi kan så ikke<br />
finde afstanden mellem 10 <strong>og</strong> 10 på <strong>instrumentet</strong>, for hængslet er for stort. I stedet tager vi<br />
afstanden mellem 100 <strong>og</strong> 100 i passeren <strong>og</strong> afsætter det stykke på linjestykket AB ud fra B,<br />
til et punkt C. Det resterende af linjestykket AB, altså stykket AC er da en elvtedel af linjestykket<br />
AB. Så sætter vi det ene ben af passeren i A <strong>og</strong> markerer et punkt E nær den anden<br />
ende, så bliver EB lige så lang som AC. Derefter tager vi med passeren afstanden mellem<br />
punkterne ved 90 <strong>og</strong> 90, <strong>og</strong> afsætter <strong>og</strong>så denne afstand ud fra linjestykkets to ender til to<br />
nye punkter D <strong>og</strong> F. Derefter afsættes tilsvarende afstanden 80-80 <strong>og</strong> 70-70 osv. På denne<br />
måde kan vi få delt linjestykket AB i elleve lige lange stykker.<br />
Hvis det linjestykke vi skal dele er meget kort, <strong>og</strong> det skal deles i mange dele kan vi bruge<br />
en fremgangsmåde der minder om den ovenfor. Linjestykket der skal deles er AB, <strong>og</strong> det<br />
skal deles i 13 lige lange stykker. Så forlænger vi AB ud over B <strong>og</strong> afsætter længden af AB<br />
et antal gange ud over B til et punkt C. Vi vælger at afsætte 6 gange AB, så AC er 7 gange så<br />
langt som AB. Det vil sige at AC må indeholde det søgte linjestykke 91 gange. Vi tager<br />
derfor længden af AC <strong>og</strong> afsætter det mellem punkterne 91 <strong>og</strong> 91 på <strong>instrumentet</strong>. Så afsætter<br />
vi afstanden mellem 90 <strong>og</strong> 90 på <strong>instrumentet</strong> på vores linje ud fra C mod A. Da er<br />
afstanden fra det afsatte punkt til A lig med den søgte afstand. For at finde de øvrige delepunkter<br />
af linjestykket AB tager vi afstandene mellem 89, 88, 87 osv. markeringerne <strong>og</strong><br />
afsætter ud fra C.<br />
Endelig, hvis det linjestykke der skal deles er meget langt, så det går ud over hvad <strong>instrumentet</strong><br />
kan åbnes til kan vi alligevel få det delt i for eksempel syv dele. Først tager vi to tal,<br />
hvor det ene er 7 gange det andet, for eksempel 20 <strong>og</strong> 140. Så åbner vi <strong>instrumentet</strong> en<br />
vilkårlig åbning <strong>og</strong> måler afstanden mellem punkterne ved 140 <strong>og</strong> 140 på de to ben. Så ser<br />
vi hvor mange gange den afstand kan rummes i det givne linjestykke. Så tager vi afstanden<br />
mellem 20 <strong>og</strong> 20 på <strong>instrumentet</strong> det antal gange, så har vi fundet den søgte syvendedel,<br />
hvis afstanden kunne rummes et helt antal gange. Hvis det ikke er et helt antal tager vi det<br />
lille stykke der er tilovers <strong>og</strong> deler med syv <strong>og</strong> lægger det til. Så får vi nøjagtig en syvendedel<br />
af vores oprindelige linjestykke.<br />
Anvendelse II. At direkte finde en vilkårlig brøkdel af<br />
et linjestykke<br />
Når vi skal finde en brøkdel af et linjestykke for eksempel 113 dele ud af 197, tager man det<br />
givne linjestykke <strong>og</strong> åbner <strong>instrumentet</strong> så det passer mellem 197 <strong>og</strong> 197 på de to ben, da er<br />
afstanden mellem punkterne ved 113 den søgte brøkdel af det givne linjestykke.<br />
5
Anvendelse III. At ændre skalaen på et kort eller en<br />
tegning<br />
Som eksempel skal vi lave en figur der er ligedannet med<br />
femkanten ABCDE.<br />
I den nye figur skal FG svare til AB. Vi ser at i dette tilfælde<br />
skal figuren formindskes. Vi tager da med en passer afstanden<br />
AB <strong>og</strong> den afsætter vi ud ad skalaen på <strong>instrumentet</strong> fra<br />
punktet som de to ben drejer om (det punkt kaldes i det følgende<br />
omdrejningspunktet). Lad os antage at den afsatte<br />
længde ender ved punktet 60 på skalaen. Derefter tager vi<br />
afstanden FG i passeren <strong>og</strong> så indstiller vi <strong>instrumentet</strong> så<br />
FG netop passer mellem de to steder på benene af <strong>instrumentet</strong><br />
hvor 60 er afsat. Derefter ændres der ikke ved åbningen<br />
af <strong>instrumentet</strong>.<br />
Hvis vi derefter skal finde længden af GH, der svarer til længden af BC tager vi længden<br />
BC i passeren <strong>og</strong> afsætter den på <strong>instrumentet</strong> ud fra omdrejningspunktet. Vi antager at den<br />
afsatte længde så ender ved punktet 66 på skalaen. Da er længden af GH afstanden 66-66 på<br />
<strong>instrumentet</strong>.<br />
Bemærk, at hvis du skal forstørre figuren kan det være nødvendigt at bruge <strong>instrumentet</strong><br />
omvendt. Lad os straks se på et eksempel.<br />
Vi skal forstørre figuren ABCDEF til den n<strong>og</strong>et større figur, hvor forstørrelsen bestemmes<br />
af at AB skal svare til længden GH i den nye figur. Vi indstiller da <strong>instrumentet</strong> ved at vi<br />
tager længden af GH <strong>og</strong> afsætter ud fra omdrejningspunktet.<br />
Lad os antage at den ender ved tallet 60 på<br />
<strong>instrumentet</strong>s skala. Vi tager da afstanden AB <strong>og</strong> indstiller<br />
<strong>instrumentet</strong> så AB bliver afstanden 60-60 på <strong>instrumentet</strong>.<br />
For derefter at finde afstanden HI tager vi<br />
afstanden BC i passeren <strong>og</strong> finder det sted hvor afstanden<br />
mellem skalaerne på <strong>instrumentet</strong> passer med BC.<br />
Lad os antage, at det er ved 46-46. Da er HI afstanden<br />
fra 46 på skalaen til omdrejningspunktet af instrumen-<br />
tet. Bemærk, at i dette tilfælde, som i det forrige, er det<br />
ikke nok at have fundet længden HI men vi må <strong>og</strong>så<br />
finde ud af i hvilken retning den skal pege, så vinklen<br />
Figur 5.<br />
Figur 6.<br />
ved H bliver lig med vinklen ved B. Derfor tegner vi med centrum i H <strong>og</strong> HI som radius en<br />
lille cirkelbue som vist som den stiplede bue OIN på figuren. Dernæst tager vi afstanden AC<br />
<strong>og</strong> forstørrer den så vi får afstanden GI <strong>og</strong> tegner derefter cirkelbuen RIQ der har G som<br />
centrum <strong>og</strong> længden af GI som radius. Skæringspunktet mellem buerne OIN <strong>og</strong> RIQ er da<br />
det punkt I mod hvilket linjen HI skal rettes. Så er vinkel H lig med vinkel B <strong>og</strong> HI er<br />
proportional med BC. På samme måde kan man finde de andre punkter K, L <strong>og</strong> M, svarende<br />
til vinkelspidserne D, E <strong>og</strong> F.<br />
6
Anvendelse IV. At finde fjerdeproportionalen<br />
De linjer vi arbejder med bruges ikke kun til løsning af forskellige lineære problemer, men<br />
<strong>og</strong>så til at løse aritmetiske problemer. Vi vil se på hvordan man når man kender tre tal kan<br />
bestemme fjerdeproportionalen.<br />
Vi ser på et eksempel:<br />
Hvis 80 giver os 120, hvad vil 100 så give os? Her har vi tre tal i givet i denne rækkefølge<br />
80 120 <strong>og</strong> 100. For at finde det søgte fjerde tal indstiller vi passeren på langs af <strong>instrumentet</strong><br />
til det andet af de givne tal, det er 120, så åbner vi <strong>instrumentet</strong> så afstanden på tværs af<br />
<strong>instrumentet</strong> mellem markeringerne for det første af tallene, altså afstanden 80-80, er 120.<br />
Så tager vi det tredje tal, som er 100, <strong>og</strong> tager afstanden mellem <strong>instrumentet</strong>s markeringer<br />
for 100-100 <strong>og</strong> bruger passeren til at måle længden af den afstand ved at afsætte den på<br />
langs på skalaen. Det du finder, det er 150, er det søgte fjerde tal.<br />
Nu kommer der lige en sætning fra <strong>Galilei</strong> der vil n<strong>og</strong>et:<br />
Bemærk, at det samme vil ske, hvis du i stedet for det andet tal tager det tredje <strong>og</strong> i stedet for<br />
det tredje tager det andet;<br />
det vil sige at du får samme ud fra det andet tal taget på langs <strong>og</strong> tilpasset på tværs med det<br />
første <strong>og</strong> så tager det tredje på tværs <strong>og</strong> måler det på langs<br />
som hvis du tager det det tredje på langs <strong>og</strong> tilpasser det på tværs med det første på langs <strong>og</strong><br />
derefter tager det andet på tværs <strong>og</strong> måler det på langs, for i begge tilfælde får vi 150. Det er<br />
nyttigt at bemærke dette, for under forskellige omstændigheder er en ene metode mest anvendelig.<br />
I n<strong>og</strong>le tilfælde kan vi få problemer med denne metode, hvis vi ikke ved hvordan vi skal gå<br />
frem. For det første kan det ske at hverken det andet eller det tredje tal kan tilpasses på tværs<br />
med det første, som når vi spørger: „25 giver mig 60, hvad vil 75 give?“. Her er både 60 <strong>og</strong><br />
75 mere end dobbelt så stort som det første tal, der er 25, så ingen af tallene kan bruges på<br />
tværs, sammen med tallene 25 på <strong>instrumentet</strong>s ben. Derfor, for at gøre det vi vil må vi tage<br />
det dobbelte (eller tredobbelte eller firdobbelte osv.) af det første tal sammen med de andre.<br />
Når vi så ved metoden ovenfor har fundet et resultatet tager vi blot det dobbelte (eller<br />
tredobbelte eller firdobbelte osv.) af det vi har fundet. I eksemplet ovenfor med tallene 25<br />
60 75, så tager vi i stedet tallene 50 60 75, <strong>og</strong> så finder vi resultatet 90. Da er det dobbelte<br />
heraf, altså 180, den søgte fjerdeproportional til tallene 25 60 75.<br />
Ud over det kan der ske det, at det første af tallene er så stort at det går ud over skalaen på<br />
<strong>instrumentet</strong>, som når vi siger „280 giver mig 130; hvad vil 195 give mig?“. I det tilfælde<br />
tager vi fjerdeproportionalen til tallene 140 130 97½.<br />
Fjerdeproportionalen til de tal er så det søgte tal.<br />
Det er godt at kende den metode som skal bruges når det andet eller tredje tal af de givne er<br />
meget stort <strong>og</strong> de andre er middelstore, som når vi siger „Hvis 60 giver mig 390, hvad vil 45<br />
give mig?“. Jeg kan tage en hvilken som helst del af 390. For eksempel kan jeg tage 100 <strong>og</strong><br />
finde fjerdeproportionalen til 60 45 100, det er 75. Da 390 er 90 taget en gang <strong>og</strong> 100 taget<br />
3 gange tager jeg desuden fjerdeproportionalen til 60 45 90, det er 67½. Jeg tager derfor 75<br />
tre gange lægger 67½ til det giver summen 292½, der er den søgte fjerdeproportional.<br />
Endelig kan vi <strong>og</strong>så vise hvordan den samme metode kan bruges for meget små tal, selv om<br />
der på <strong>instrumentet</strong> kun kan markeres tal der er mindst 15. I dette tilfælde skal vi bruge<br />
7
tiendedele som om de var enheden. Når vi siger „Hvis 10 giver 7, hvad vi så 13 give?“. Vi<br />
tager da 70 (det vil sige 7 tiere) <strong>og</strong> tilsvarende for de andre tal. Vi finder da fjerdeproportionalen<br />
til 70 100 130 <strong>og</strong> det finder vi til 91. Det betyder at fjerdeproportionalen til<br />
10 7 13 er 91 tiendedele, altså 9 1/10.<br />
Ud fra alle disse instruktioner kan du nemt finde løsningen i ethvert tilfælde uanset hvilke<br />
problemer der opstår.<br />
Anvendelse V. Det omvendte til at finde fjerdeproportionalen<br />
Vi ser et eksempel: Hvis der er mad til 60 dage når man har 100 soldater, hvor mange<br />
soldater har man så mad til i 75 dage? Vi stiller igen tallene op i rækkefølge: 60 100 75.<br />
Vi indstiller passeren på det første tal, her 60, <strong>og</strong> så åbner vi <strong>instrumentet</strong> så det bliver<br />
afstanden 75-75 (hvor 75 er det tredje tal). Derefter måler vi afstanden 100-100 (hvor 100 er<br />
det andet tal) ved hjælp af passeren. Det giver 80, der er det søgte tal.<br />
Bemærk her, at vi finder et samme ved at indstille passeren på det andet tal, 100, <strong>og</strong> så åbne<br />
<strong>instrumentet</strong> så det bliver afstanden 75-75 (det tredje tal), <strong>og</strong> derefter måle afstanden 60-60<br />
(det første tal).<br />
II. De geometriske linjer<br />
De linjer der ligger nærmest de aritmetiske linjer som vi brugte ovenfor kaldes de geometriske<br />
linjer. De er inddelt i geometrisk proportion op til 50. De kan bruges til mange forskellige<br />
ting.<br />
Figur 7.<br />
8
Anvendelse VIII. At ændre arealet af figurer i et vilkårligt<br />
forhold<br />
For det første vil vi bruge de geometriske linjer til at finde siden en plan figur der har et<br />
givet forhold til en anden ligedannet figur. Lad er for eksempel være givet en trekant ABC,<br />
<strong>og</strong> vi ønsker at finde en anden trekant der har arealforholdet 3:2 til den givne. Vælg to tal<br />
der har det givne forhold, lad det være 12 <strong>og</strong> 8. Så tager vi linjestykket BC i passeren <strong>og</strong><br />
åbner <strong>instrumentet</strong>, så den afstand passer mellem punkterne 8-8 på de geometriske linjer;<br />
tag derefter, uden at ændre <strong>instrumentet</strong> afstanden mellem punkterne 12-12 i passeren. Hvis<br />
vi nu bruger den side som længden af siden i en (ligedannet) trekant, svarende til linjen BC,<br />
vil arealet af den trekant netop være tre halvdele af arealet af trekant ABC.<br />
B<br />
A<br />
C<br />
9