Projektopgave 1 - itslearning
Projektopgave 1 - itslearning
Projektopgave 1 - itslearning
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
DiMS 2009<br />
<strong>Projektopgave</strong> 1: Induktion<br />
Projektet afleveres individuelt og skal besvares af hver deltager for sig. Det er<br />
imidlertid b˚ade tilladt og tilr˚adeligt at diskutere opgaven med medstuderende<br />
undervejs. Delspørgsm˚al (A), der skal besvares i Maple, kan udføres af op til<br />
3 deltagere i samarbejde. Den relevante Maple-session skal skrives ud og<br />
vedlægges som appendiks. Den øvrige del af besvarelsen m˚a ikke indskrives<br />
i Maple.<br />
Projektet afleveres til instruktoren mandag den 14. september 2009; der skal<br />
benyttes en særlig forside ved aflevering. Ud over nedenst˚aende oplæg baserer<br />
projektet sig p˚a materiale fra KBR afsnit 1.3 og 2.4.<br />
Oplæg<br />
Vi ønsker at bevise at der for hvert n ∈ N gælder<br />
1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n 2 n(n + 1)(2n + 1)<br />
= , (1)<br />
6<br />
og derved bestemme en formel for summen af de første n kvadrattal.<br />
En oplagt, men som vi skal se, lidt for naiv, metode er at begynde forfra. Vi<br />
ser jo fx ved direkte udregning at<br />
1 2 = 1 = 6<br />
6<br />
1 2 + 2 2 = 5 = 30<br />
6<br />
1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 = 84<br />
6<br />
1(1 + 1)(2 + 1)<br />
= ,<br />
6<br />
2(2 + 1)(4 + 1)<br />
= ,<br />
6<br />
3(3 + 1)(6 + 1)<br />
= ,<br />
6<br />
Det er fristende at regne et par udsagn mere efter, sætte<br />
.<br />
osv.<br />
under, og erklære sig færdig med opgaven. Dette er imidlertid næsten p˚a<br />
grænsen til det løgnagtige! For selv om vi brugte Maple og fandt at formlen<br />
gjaldt for alle n mellem 1 og 100000 var vi ikke blevet meget klogere p˚a de<br />
to spørgsm˚al<br />
1
(i) Gælder formlen for alle n ∈ N?<br />
(ii) Hvorfor?<br />
der er s˚a tæt bundet sammen, at det er svært at besvare (i) uden at besvare<br />
(ii).<br />
Vi prøver derfor en anden metode. Vi definerer en følge (fn) ved<br />
fn =<br />
n(n + 1)(2n + 1)<br />
6<br />
(alts˚a formlens højreside) og f˚ar den idé at forsøge at bevise udsagnet<br />
fn + (n + 1) 2 = fn+1<br />
i stedet. Det viser sig at være relativt nemt at checke da vi ved at gange helt<br />
ud f˚ar<br />
og<br />
fn + (n + 1) 2 = 1 2<br />
n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)<br />
6<br />
<br />
= 1 <br />
3 2<br />
2n + 9n + 13n + 6<br />
6<br />
fn+1 = 1<br />
((n + 1)(n + 1 + 1)(2(n + 1) + 1))<br />
6<br />
= 1 <br />
3 2<br />
2n + 9n + 13n + 6<br />
6<br />
Formlen (2) betyder, at hvis vi ved at (1) gælder for en eller anden bestemt<br />
værdi af n, s˚a kan vi slutte at den ogs˚a gælder for n + 1, idet<br />
1 2 + · · · + n 2 + (n + 1) 2 = fn + (n + 1) 2<br />
= fn+1<br />
= [n + 1]([n + 1] + 1)(2[n + 1] + 1)<br />
6<br />
[Formel (1) gælder for n]<br />
[Formel (2)]<br />
(2)<br />
[Def. af f]<br />
Vi har allerede vist at formlen gælder for n = 3. Men s˚a gælder den ogs˚a<br />
for n = 4 pga. argumentet herover. Men s˚a gælder den ogs˚a for n = 5 pga.<br />
argumentet herover. Men s˚a gælder den ogs˚a for n = 6 pga. argumentet<br />
herover. Men s˚a gælder den ogs˚a for n = 7 pga. argumentet herover. Men s˚a<br />
gælder den ogs˚a for n = 8 pga. argumentet herover. . . osv.<br />
2
Vi er betydeligt tættere p˚a et troværdigt svar p˚a (i) og (ii) nu. Men som<br />
det fremg˚ar er vi stadigvæk nødt til at arbejde med tre prikker og sige “og<br />
s˚a videre” eller lignende. Induktionsprincippet, som det st˚ar i BKRs afsnit<br />
2.4, er den vedtagne metode til at h˚andtere s˚adanne “. . . osv.”, og form˚alet<br />
med dette projekt er at give erfaring og fortrolighed med hvordan dette<br />
matematiske virkemiddel benyttes.<br />
Observer hvordan udsagnet (2) viste sig at være en nøgle til at finde et bevis.<br />
Det er værd at bemærke hvordan man kan f˚a ideen til at opstille denne ligning<br />
ud fra en analyse af problemstillingen. For hvis (1) var sandt, s˚a m˚atte der<br />
ogs˚a gælde<br />
fn+1 = 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 + (n + 1) 2 = fn + (n + 1) 2 .<br />
I de mere avancerede opgaver herunder er det en væsentlig del af opgaven at<br />
ved hjælp af en s˚adan analyse forsøge at finde udsagn der p˚a samme m˚ade<br />
som (2) kan tjene som springbræt til en løsning af opgaven.<br />
3
Opgavetekst<br />
(A) Benyt Maple til at beregne de 15 første led af hver af følgerne<br />
ak = 6 k − 5k + 4 (3)<br />
bk = 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) (4)<br />
ck = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2 k<br />
(5)<br />
dk = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + k(k + 1) (6)<br />
bk er alts˚a summen af de k første ulige tal, ck er summen af de k første<br />
potenser af 2, og dk er summen af de første k produkter af et helt tal<br />
og dets efterfølger. Find ogs˚a Maples bud p˚a en formel for bk, ck og dk.<br />
Vedlæg en udskrift til besvarelsen.<br />
(B) Benyt følgende opskrift til at give et induktionsbevis for at 6 k − 5k + 4<br />
er deleligt med 5 for ethvert naturligt tal k.<br />
(a) Bestem det relevante udsagn P (k), jf. KBR s. 68.<br />
(b) Kontroller at P (k) er et sandt udsagn for alle k mellem 1 og 15.<br />
(c) Indfør en følge gk = 6 k −5k+4, og lav en formel der sammenknytter<br />
gk+1 og gk<br />
(d) Antag nu at P (k) er sand for en eller anden bestemt værdi af k.<br />
Gør rede for at s˚a er P (k + 1) ogs˚a sand<br />
(e) Opstil en konklusion.<br />
(C) Benyt resultaterne i (A) til at opstille udsagn om formler for bk, ck og dk.<br />
Opstil et induktionsbevis for et af disse udsagn efter eget valg. Metode<br />
og notation fra BKR afsnit 2.4 skal benyttes – vær omhyggelig med at<br />
specificere det relevante udsagn P (k) og med at vise P (1) s˚avel som at<br />
P (k) medfører P (k + 1).<br />
4