Web skærmformat. - Aarhus Universitet

IX. Opgaver – 5. Januar 2005 599
Løsning. 1) Fra [S] 8.7 haves
Indsæt y = x 2
Altså er
arctan y = y − 1
3 y3 + 1
5 y5 − ...
arctan(x 2 ) = x 2 − 1
3! (x2 ) 3 + 1
5 (x2 ) 5 − ...
f(x) = x 2 − 1
3 x6 + 1
5 x10 − 1
7 x14 + ...
2) Den afledede f ′ (x) fås ved ledvis differentiation
Altså er
Opgave 7. Betragt funktionen
f ′ (x) = 2x − 6
3 x5 + 10
5 x9 − 14
7 x13 + ...
f ′ (x) = 2x − 2x 5 + 2x 9 − 2x 13 + ...
f(x,y) = x 3 + y 3 + 3xy.
1) Undersøg hvilke af følgende tre punkter, der er kritiske punkter for f:
(1,1), (0,0), (−1, −1).
2) Det oplyses, at f har netop to kritiske punkter. For hvert af de kritiske punkter for f ønskes
angivet, om det er et lokalt maximum, et lokalt minimum, eller ingen af delene.
Løsning. 1) For f(x,y) = x 3 + y 3 + 3xy er de partielle afledede
fx = 3x 2 + 3y, fy = 3y 2 + 3x.