Web skærmformat. - Aarhus Universitet

IX. Opgaver – 5. Januar 2005 591
Det ses, at den søgte partikulære løsning er
5. Januar 2005
y(x) = 4 x3
+
5x2 5 .
Opgave 1. Lad v betegne vektoren (4, −3) ∈ R 2 .
1) Angiv en enhedsvektor u (dvs. en vektor af længde 1), som har samme retning som v.
2) Lad f betegne funktionen f(x,y) = ln(1 + x + 2y). Angiv den retningsafledede Duf(0,0).
Løsning. 1) Længden af v = (4, −3) er v = 42 + (−3) 2 = √ 25 = 5. Enhedsvektoren i v’s
retning er
u = 1 1
v = (4, −3) = (4 , −3 ) .
v 5 5 5
2) De partielle afledede af f(x,y) = ln(1 + x + 2y) er
hvorfra gradienten i (0,0) fås
fx =
1
1 + x + 2y , fy
2
=
1 + x + 2y ,
∇f(0,0) = (fx(0,0),fy(0,0)) = (1,2) .