Web skærmformat. - Aarhus Universitet

IX. Opgaver – 4. August 2004 589
Opgave 6. Det oplyses, at funktionen f(x,y) = x 2 + y 2 antager et minimum under bibetingelsen
g(x,y) = 0, hvor g(x,y) = xy − 5.
1) Angiv samtlige de punkter, hvori dette minimum antages.
2) Beregn minimumsværdien.
Løsning. 1) De partielle afledede er
Lagrange ligningerne er
I dette tilfælde
fx = 2x, fy = 2y, gx = y, gy = x.
fx = λgx, fy = λgy, g = k.
2x = λy, 2y = λx, xy = 5.
x,y er ikke nul og har samme fortegn. Det følger, at λ = 2, x = y . Mulige minimumspunkter er
da
(x,y) = ±( √ 5, √ 5)
Da funktionsværdien i disse punkter er ens, er dette de to søgte punkter.
2) Minimumsværdien er f( √ 5, √ 5) = 10 .
Opgave 7. Bestem den funktion y(x) (for x > 0), der opfylder
og begyndelsesbetingelsen y(1) = 1.
y ′ = − 2y
x
+ x2