Web skærmformat. - Aarhus Universitet

IX. Opgaver – 4. August 2004 586
viser at egenværdien
2) a opfylder
altså a = 2 .
Opgave 4. Betragt funktionen
λ = 4 .
a + 6 = 2λ = 8
f(x) = sin( x2
2 ).
1) Angiv nogle af de første led i en potensrække i x , der på hele den reelle akse fremstiller funktionen
f(x). (Det er tilstrækkeligt at angive leddene af grad ≤ 6.)
2) Beregn tallet f (4) (0) (hvor f (4) betegner den 4. afledede af f).
Løsning. 1) Fra [S] haves
Indsæt y = x2
2
Altså
sin y = y − 1
3! y3 + 1
5! y5 ...
sin( x2
x2 ) =
2 2
1 x2 − 3! (
2 )3 + 1
5!
( x2
2 )5 − ...
sin( x2 1
) =
2 2 x2 − 1
48 x6 + ...
2) I en potensrække f(x) = anxn gælder
f (n) (0) = n!an .