Web skærmformat. - Aarhus Universitet

IX. Opgaver – 4. August 2004 584
givet ved
{(r,θ)|0 ≤ r ≤ 2,0 ≤ θ ≤ π
2 }
2) Dobbelt integralet opstilles i polære koordinater
π/2 2
f(x,y) dA = f(r cos θ,r sinθ)r dr dθ .
og beregnes
D
D
Opgave 2. Betragt funktionen
1
x2 + y2 dA =
+ 2
0
0
π/2
0
2
0
r
r2 dr dθ
+ 2
= π
2 [1
2 ln(r2 + 2)] r=2
r=0
= π
ln 3 .
4
f(x,y) = x · ln(1 + x + y)
defineret i halvplanen x + y > −1.
1) Angiv gradientvektoren ∇f(x,y) for et vilkårligt punkt (x,y) i funktionens definitionsområde.
2) Beregn den retningsafledede af f i punktet (0,1), i retningen “Nordøst”, dvs. i retning givet ved
enhedsvektoren 1
√ 2 (1,1).