Web skærmformat. - Aarhus Universitet

IX. Opgaver – 3. Januar 2004 580
Egenværdierne er rødderne −2 og 6 ([LA] Sætning 14).
2) De partielle afledede er
I (0,0) er gradienten
fx = 2x + 4y + 2xy, fy = 2y + 4x + x 2 .
∇f(0,0) = (fx(0,0),fy(0,0)) = (0,0) ,
så den nødvendige betingelse for et lokalt ekstremum er opfyldt. De dobbelte partielle afledede er
I (0,0) er Hessematricen fxx fxy
fxx = 2 + 2y, fxy = fyx = 4 + 2x, fyy = 2 .
fyx fyy
=
2 4
4 2
netop matricen fra 1). Da egenværdierne er = 0 og ikke har samme fortegn, så er (0,0) ikke et lokalt
ekstremum ([LA] 13 side 89).
Alternativt giver andenordenstesten ([S] 11.7 Theorem 3) en størrelse D = fxxfyy − f 2 xy = −12.
Da D < 0, er (0,0) ikke et lokalt ekstremum.
Opgave 7. Betragt differentialligningen
y ′ = −2xy + x .
1) Angiv den fuldstændige løsning.
2) Angiv den løsning y(x), der opfylder y(0) = 1
2 .