Web skærmformat. - Aarhus Universitet

IX. Opgaver – 3. Januar 2004 576
Løsning. 1) Fra udregningen
⎡ ⎤⎡
3 0 0
⎣ 1 a 1 ⎦⎣
0 0 3
−1
0
1
⎤
⎡
⎦ = ⎣
−3 + 0 + 0
−1 + 0 + 1
0 + 0 + 3
⎤
⎡
⎦ = 3⎣
ses ([LA] (25)), at den opgivne vektor er en egenvektor og egenværdien er 3.
2) Det søgte egenrum er løsningsrum for det homogene ligningssystem med koefficientmatrix
⎡
⎤ ⎡ ⎤
3 − 3 0 0 0 0 0
B − 3I = ⎣ 1 1 − 3 1 ⎦ = ⎣ 1 −2 1 ⎦ .
0 0 3 − 3 0 0 0
Det reducerede ligningssystem er
x − 2y + z = 0 .
Eliminationsmetoden giver et løsningsrum beskrevet ved to parametre y,z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x 2y − z 2 −1
⎣ y ⎦ = ⎣ y ⎦ = y ⎣ 1 ⎦ + z ⎣ 0 ⎦ .
z z 0 1
Det følger ([LA] Sætning 15), at egenrummet også kan udtrykkes som underrummet
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2 −1
E3 = span( ⎣ 1 ⎦, ⎣ 0 ⎦) .
0 1
−1
0
1
⎤
⎦