Web skærmformat. - Aarhus Universitet

VII. Skalarprodukt og projektion – 1. Ortogonal projektion 493
= y1 + · · · + yn
n
1.29. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 6
Betragt det lineære underrum U ⊂ R 4 , der er udspændt af vektorer u1 = (1,1, −1, −1) og u2 =
(0,1,1,0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1,2,3,4).
Løsning
I følge Sætning 19 er u den ortogonale projektion af v på U.
Den korteste afstand er
||v − u||
1.30. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 6 - fortsat
Vektorerne u1 = (1,1, −1, −1) og u2 = (0,1,1,0) har
u1 · u2 = 1 · 0 + 1 · 1 + (−1) · 1 + (−1) · 0 = 0
Fra Sætning 17 fås projektionen af v = (1,2,3,4)
u = projU(v) = proju1 (v) + proju2 (v)
= v · u1 v · u2
u1 +
u1 · u1
a
u2
u2 · u2