Web skærmformat. - Aarhus Universitet

VII. Skalarprodukt og projektion – 1. Ortogonal projektion 488
1.20. Projektion på basis ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel
Lad u1 = (1, −1,1),u2 = (1,2,1) ∈ R 3 være inbyrdes ortogonale vektorer der udspænder underrummet
U. Så er den ortogonale projektion
projU(v) = proju1 (v) + proju2 (v)
= v · u1 v · u2
u1 +
u1 · u1
= v1 − v2 + v3
3
= ( v1 + v3
2
u2
u2 · u2
(1, −1,1) + v1 + 2v2 + v3
6
,v2, v1 + v3
)
2
(1,2,1)
1.21. Projektion på basis ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel 3
Betragt u1 = (1, 1
2 ,0, −1),u2 = (2,2, −1,3) ∈ R 4 samt underrummet U = span(u1,u2).
1. Vektorerne u1 og u2 er ortogonale:
u1 · u2 = 2 + 1
· 2 + 0 − 3 = 0
2