Web skærmformat. - Aarhus Universitet

VII. Skalarprodukt og projektion – 1. Ortogonal projektion 487
Eksempel 1
For et underrum U = span(a) ⊂ R2 udspændt af vektoren a = (3,4) er den ortogonale projektion
af en vektor v = (1,18) på U givet ved
v · a
proja(v) =
a · a a
= 3 + 4 · 18
3 2 + 4 2 (3,4)
= 3(3,4)
= (9,12)
1.19. Projektion på basis ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Sætning 17
Lad u1,...,uk ∈ Rn vœre inbyrdes ortogonale egentlige vektorer. Antag at de udspœnder underrummet
U. Så gœlder
k
projU(v) = projuj (v)
er den ortogonale projektion af en vektor v på U.
Bevis
Eftervis ved tømrerprincippet, at
j=1
v − k ⊥
projuj j=1 (v) ∈ U