Web skærmformat. - Aarhus Universitet

I. Differentiation – 2. Partielle afledede 47
2.22. Der er kun det halve arbejde ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Sætning (Clairaut)
Antag at f er defineret på en (lille) cirkelskive med centrum i (a,b). Hvis fxy,fyx er kontinuerte
på cirkelskiven, så gœlder
fxy(a,b) = fyx(a,b)
"Højere partielle afledede afhænger ikke af differentiations rækkefølgen."
2.23. Overbevis ☞ [S] Appendix E A few proofs
Bevis (Clairaut)
∆(h) = (f(a + h,b + h) − f(a + h,b)) − (f(a,b + h) − f(a,b))
Omskrives ved middelværdisætningen
∆(h) = (fx(c,b + h) − fx(c,b))h
Ved ombytning af x,y
for (c,d),(c ′ ,d ′ ) tæt ved (a,b).
= fxy(c,d)h 2
fyx(c ′ ,d ′ )h 2 = fxy(c,d)h 2
Konklusion ved kontinuitet af de dobbelte afledede.