Web skærmformat. - Aarhus Universitet

VI. Egenvektorer og diagonalisering – 1. Egenvektorer 441
har ikke-nul (egentlige) løsninger.
1.12. Matrixligning og egenværdi ☞ [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer
Bemærkning - fortsat
Lad A være en n × n-matrix. Et tal λ er en egenværdi, hvis ligningssystemet
Ax = λx
har ikke-nul (egentlige) løsninger x ∈ R n .
Dette kan skrives
(A − λIn)x = 0
og er dermed et homogent lineært ligningssystem med koefficientmatrix
A − λIn
1.13. Determinant og egenværdi ☞ [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer
Sætning 14
Lad A vœre en n × n-matrix. Et tal λ er en egenvœrdi, hvis og kun hvis determinanten
|A − λIn| = 0
Bemærkning
n-te grads polynomiet ovenfor kaldes det karakteristiske polynomium for matricen A. Egenværdierne
er altså netop rødderne i det karakteristiske polynomium.