Web skærmformat. - Aarhus Universitet

IV. Differentialligninger – 2. 1. ordens ligninger 338
2.27. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Sætning 30
Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem
dy
= Ay
dx
Hvis matricen U med søjler u1,u2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ1,λ2, Auj = λjuj, så er
den fuldstændige løsning givet ved
hvor C1,C2 er arbitrœre.
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2
2.28. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Sætning 31
Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) = (yi(x)) samt det lineœre
differentialligningssystem
dy
= Ay + b
dx
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis matricen U med søjler u1,u2
diagonaliserer A med egenvœrdier λ1,λ2, Auj = λjuj, så er den fuldstændige løsning givet ved
hvor C1,C2 er arbitrœre.
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2 + v