Web skærmformat. - Aarhus Universitet

IV. Differentialligninger – 2. 1. ordens ligninger 337
Sætning 28
Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) = (yi(x)) samt det lineœre
differentialligningssystem
dy
= Ay + b
dx
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis yderligere u er en egenvektor
for A med egenvœrdi λ, så er
y(x) = Ce λx u + v
løsninger, hvor C er arbitrær.
2.26. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Sætning 29
Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem
dy
= Ay
dx
Hvis
y0 = C1u1 + C2u2
er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenvœrdier λ1,λ2, Auj = λjuj, så er
en løsning, der opfylder y(0) = y0.
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2