Web skærmformat. - Aarhus Universitet

III. Potensrækker – 4. Taylorpolynomier 308
4.19. Taylors restled ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
x
= f(a) + (f ′ s
(a) + f ′′ (t) dt) ds
a
= f(a) + (x − a)f ′ x s
(a) + f ′′ (t) dt ds.
4.20. Taylors restled ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
f(x) = f(a) + (x − a)f ′ x s
(a) + f ′′ (t) dt ds.
De to første led er Taylor-polynomiet T1(x) for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet
R1(x).
4.21. Taylors restled ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f ′′ (t)
over trekanten D i (s,t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret linie) og linien
s = t
Trekanten D har areal 1
2! (x − a)2 . Da |f ′′ (t)| ≤ M for alle punkter i D, er
D
≤ 1
2! (x − a)2 · M = M
(x − a)2
2!
a
a
a
a
a