Web skærmformat. - Aarhus Universitet

III. Potensrækker – 3. Potensrækker 292
En vilkårlig ofte differentiabel funktion f(x) har Taylorrække om a
∞
6 f(x) =
og Maclaurinrække, a = 0,
n=0
7 f(x) =
f (n) (a)
(x − a)
n!
n
∞
n=0
f (n) (0)
x
n!
n
3.26. Eksponentialrækken som Maclaurin række ☞ [S] 8.7 Taylor . . .
Eksempel 1
For f(x) = e x er f (n) (x) = e x for alle n. Så er f (n) (0) = e 0 = 1 for alle n, så Maclaurin rækken
for e x er
e x =
∞
n=0
1
n! xn
3.27. Sinusrække som Maclaurin række ☞ [S] 8.7 Taylor . . .
Eksempel 4
For f(x) = sin x er sin ′ x = cos x og cos ′ x = −sin x. Så
f(0) = 0,f ′ (0) = 1,
f ′′ (0) = 0,f ′′′ (0) = −1,