Web skærmformat. - Aarhus Universitet

III. Potensrækker – 3. Potensrækker 288
Eksempel 6 - fortsat
−ln(1 − x) = x + x2
2
+ x3
3
−ln(1 − (1 − z)) = (1 − z) +
+ x4
4
(1 − z)2
2
eller
(z − 1)2
lnz = (z − 1) − +
2
(z − 1)3
(substituer 1 − z for x; gælder for 0 < z ≤ 2).
...for − 1 < x < 1
+ (1 − z)3
3
3
− ...
+ ...
3.18. Arctan rækken ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 7
For |x| < 1 er | − x 2 | < 1, så for sådanne x fås ved substitution i den geometriske række
Integreres ledvis fås
1
1 + x 2 = 1 − x2 + x 4 − x 6 + ...
Arctan(x) = x − x3
3
+ x5
5
− ...
3.19. Gentagen differentiation ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Udregning
f(x) = c0 + c1x + c2x 2 + c3x 3 + c4x 4 + ...