Web skærmformat. - Aarhus Universitet

III. Potensrækker – 3. Potensrækker 287
Differentier den geometriske række
1
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + ... =
1
(1 − x) 2 = 1 + 2x + 3x2 + ... =
∞
x n
n=0
∞
(n + 1)x n
Konvergensradius er 1, centrum er 0, rækken er konvergent for −1 < x < 1, divergent for |x| > 1.
I konvergensintervallet fremstiller rækken 1/(1 − x) 2 .
3.16. Geometrisk række ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 6
Integrerer den geometriske række
n=0
1
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + ... =
−ln(1 − x) = x + x2
2
+ x3
3
+ x4
4
∞
x n
n=0
... =
Konvergensradius er 1, centrum er 0, rækken er konvergent for −1 < x < 1, divergent for |x| > 1.
3.17. En logaritmerække ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
∞
n=1
x n
n