Web skærmformat. - Aarhus Universitet

III. Potensrækker – 1. l’Hospitals regel og uegentlige integraler 259
Eksempel 3 ∞
Løsning
−∞
t
0
−∞
1
dx = π
1 + x2 1
dx = [Arctanx]t
1 + x2 0 = Arctan t
Grænseovergange limt→±∞ Arctan t = ± π
2 giver
∞ 0 ∞
1
1
1
dx = dx + dx = π
1 + x2 1 + x2 1 + x2 −∞
1.20. Reciprok potens ☞ [S] 5.10 Improper integrals
Eksempel 4
Det uegentlige integral p = 1
∞
1
1
dx = lim
xp t→∞
er konvergent for p > 1 med værdi
= lim
t→∞
t
1
1
1 − p
∞
1
1
dx = lim
xp t→∞
1
0
1
1 − p ·
− 1
tp−1 1 1
dx =
xp p − 1
1
xp−1 t 1